Может ли онлайн магазин прибавить цену на уже оплаченный заказ?

Нет, это грубое нарушение правил торговли. После заключения сделки ни одна сторона не может вносить в нее изменения без согласования с другой. Не соглашайтесь!

Читайте договор публичной оферты на сайте магазина - там все сказано по этому поводу.

Это развод. Требовать оплачивать отсутствующий товар не имеют права, этого товара может уже и не быть или будет другая цена. Продавец обязан был предупредить об отсутствии у него товара и по своему усмотрению взять ваши контакты известить в случае скорой поставки.
Хоть номер заказа в письменном виде есть?

определенно такого быть не может. Иначе бегите прочь от такого продавца!
Вот, например, у меня была ситуация. Я покупала в интернет- магазине ла редут куртку во время глобальной распродажи. Скидки были до 60 %. Я опомнилась только в предпоследний день акции, хотя проходила она достаточно долго, но не суть. В общем, в ла редут нет предоплаты, оплачивать посылки нужно при получении. Куртка стоила, если мне не изменяет память, около 1700 рублей. Ждать ее нужно было около 10 дней. Естественно, за это время акция закончилась, и куртка стала стоить снова в районе 3к. И я бы очень удивилась, если бы придя за посылкой, я услышала сумму больше той, которую увидела при оформлении заказа. Заплатила свои 1700 и пошла довольная)
Так что, выбирайте только честные магазины с хорошей репутацией!