КАК правильно завести провод с "землёй" в квартиру для стиральной машины ???

Подключать контакт заземления розетки на щиток, который занулен - ОПАСНО, т. к. при отгорании нейтрали на КТП, ВРУ и т. д. и т. п. корпус вашего, якобы заземленного прибора, окажется под напряжением (фаза) . Потенциал не имеет значения. Токнет точно. УЗО в этом случае не сработает пока вы не дотронетесь до корпуса. Без УЗО может не отпустить.
ВЫВОД. При отсутствии нормальной земли в щитке и использование рабочего нуля в качестве защитного установка УЗО на дифф ток 30мА ОБЯЗАТЕЛЬНА. Живем один раз.

насущной необходимости в отдельной "земле" нет. Это один из способов обезопасить Вас от удара током в случае неисправности машины.
Хорошую защиту в этом случае дает УЗО. Такой прибор. Монтируется как обычные автоматы на входе у щитка. Отключает ток при утечке.

Насколько мне известно сейчас при грамотной проводке в доме, и если "земля" не прерывается автоматом на входе квартиру, можно к защитной "земле" розетки подвести тот же, который у обычной "земли". Только с фазой не путать.

в большинстве старых домов нулевой рабочий и нулевой защитный проводники совмещены в одном проводнике на всем их протяжении. это одна из разрешенных и допустимых схем. так ли это в Вашем случае можно узнать у местного электрика.

Не парься этим. У меня вся техника рассчитана на землю и не одна не заземлена - некуда землить. Ну, если всовсем боишься удариться током - проще всего кидать провод на батарею, но это чревато течью батарей. Смотри в счетчике, если есть прямой голый круглый или плоский металлический прут, кидай на него. Если там ничего нет (что вернее), веди в розетку свободный провод, выводи его через стену на улицу и кидай в землю на три штыря, вбитых треугольником. Штыри между собой должны быть сварены.

Правильно от щитка. В каждом щитке есть болт (либо гайка) под который зажимаются нулевые провода и провода заземления, их видно сразу. Сечение провода желательно не меньше чем сечение фазного и нулевого проводов (так надежнее). Это нужно для того, чтобы, если электроизоляция в машине повредится током никого не ударило. ДЛЯ НАЧАЛА ОТКЛЮЧАЕМ В ЩИТКЕ ВСЕ АВТОМАТЫ, ВЫКЛЮЧАТЕЛИ ДЛЯ СВОЕЙ КВАРТИРЫ, ПРОВЕРЯЕМ ОТСУТСТВИЕ НАПРЯЖЕНИЯ, Т.Е. СВЕТ ГОРЕТЬ НЕ ДОЛЖЕН И ИНДИКАТОР (ОН ЖЕ УКАЗАТЕЛЬ НАПРЯЖЕНИЯ НЕ СВЕТИТСЯ). Так вот устанавливаем евророзетку, провода фазный и нулевой зажимаем в своих клеммах, далее прикручиваем провод заземления. Эстетика Ваша проблема (в смысле куда провод девать прятать будете). Ну и последняя операция второй конец провода заземления присоединить к щитку, т.е. под гайку или под болт прикрутить (контакт должен быть надежным). После можете включить все что отключили в щитке. Могу сказать сразу если машину не заземлять рано или поздно она будет долбить током, я уже получил, быстро заземлил. Если уж совсем не понимаете в электричестве, то любого электрика или того, у кого образование (энергетика, физика) пригласите.

Да полностью подтверждаю слова Александра. Если машину не заземлить то со временем она начнёт "щипать" вас током. Лучше сделайте как указано.