Почему прижились именно такие названия - Родина на РФ и Батьківщина в Украине?

Потому что разные языки, разная история.

синоним вашей батькивщины-отчизна

в русском - отечество или отчизна
родина - в узком смысле по-украински: рідний край

ро́дина «отечество», тогда как укр. роди́на = «семья» /недоговорка как вы их любите фейкоделы

Слово родина не украинское, оно происходит от праславянской основы "родь" (Род - древнейшее мужское божество у славян). В славянских языках корень "род" означает родство, рождение. Слово "народ" тоже отсюда. Русский и украинский языки вобрали в себя эти значения. Батькивщина - земля отцов, это созвучно русскому Отечество. Почему прижилось так, а не иначе? Украинцы использовали Родина для обозначения родни, русские - для обозначения Отчизны. Тут кар раз нет ничего странного. А вот слово "врода" - красота по-украински и "урода, уродство" по-русски, это забавно. )))

Потому что русский язык гораздо более богат, чем ваша мова. И в нём есть слово Отчизна (отче -отец) которое значит тоже самое что и батькивщина

Родина от языческого РОД, наРОД, РОДился и пр.
А у селюков искусственная галицкая гвара:
мало ли что им придумали пшеки и австро-венгры.

Отечество это и есть батькивщина, отец=батька

(да-да, слово Родина - украинское)

у хохлов всё наоборот, дружина это жена, а банды национальных дружин у них не переводится как национальные жёны, почему так ?

На Украине все равно смешной язык.
Типа как в детстве разговаривал, так и теперь

Игра на патриотических чувствах. Что Родина, где сплошь и рядом Коротченки всякие, выступающие крикуны с ТВ и вояки, что Баткивщина, которую возглавляет воровка и подельница Вована Питуна.

родина это что-то эфемерное