в какитх случаях используется частица to в английском языке

Частица to ставится в словарной (начальной) форме английского глагола. E.g.: to work, to walk, to become etc.

Если в предложении один инфинитив глагола используется дважды, то во втором случае обычно ставится только частица to. Обычно частица to ставится после таких глаголов, как: to want, to wish, to need, to mean, to try… Это делается для того, чтобы избежать неправильного, с точки зрения стилистики, повторения.

I don’t want to learn Japanese, but I have to __ (study).
Я не хочу учить японский, но вынужден (изучать) .

If you wish to continue the research, then try to __ (continue).
Если вы желаете продолжить исследование, то попробуйте (продолжить) .

Indefinite Infinitive Passive выполняет те же функции в предложении, но выражает действия, которые совершаются над лицом или предметом, а не наоборот. Формула Indefinite Infinitive Passive – To be\get + III форма глагола.

To get married as soon as possible is a dream of every girl. (подлежащее)
Выйти замуж как можно скорее – мечта каждой девушки.

It is great to be invited to his party. (подлежащее)
Здорово быть приглашенным на его вечеринку.

She told her son to get dressed for the dinner. (дополнение)
Она сказала своему сыну одеться к ужину.

In shops I often use my calculator so as not to be deceived. (обстоятельство цели)
В магазинах я часто пользуюсь калькулятором, чтобы не быть обманутым.

Take the cream not to be bitten by mosquitoes. (обстоятельство цели)
Возьми крем, чтобы не быть покусанным комарами.

The woman was lucky enough not to be robbed on the street. (обстоятельство причины)
Женщина была достаточно везучей, чтобы не быть ограбленной на улице.