Чем прославился Эйлер?

Описать все, что сделал этот великий человек, в рамках этого ответа невозможно.
Если коротко, то :
Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрознены и не всегда согласованы, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру» .
Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте «формула Эйлера» , операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e, обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.
Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел.

По существу именно он создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т. д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.

Эйлер (более точное произношение: Ойлер, нем. Euler) — фамилия немецкого происхождения:
Эйлер, Александр Христофорович (1773 – 1849), российский командир эпохи наполеоновских войн, генерал от артиллерии
Эйлер, Альберт (1936—1970) — фри-джазовый и авангардный саксофонист.
Эйлер, Леонард (1707—1783) — выдающийся математик XVIII века.
Эйлер-Хельпин, Ханс Карл Август Симон фон (1873—1964) — шведский биохимик, потомок Леонарда Эйлера, отец Ульфа Ойлера, иностранный член АН СССР (1927).
Эйлер, Христофор Леонтьевич (1743—1808) — генерал-лейтенант, командир Сестрорецкого оружейного завода.
Ульф фон Ойлер (1905—1983) — шведский биолог, лауреат Нобелевской премии 1970 года.