Кто первый решит эту простенькую задачку-тому 10 баллов

h*h+h*h*ctg(alfa)

Решение такое.
Пусть ABCD - трапеция, вписанная в данную окружность.
BAD = alpha, BH1 и CH2 - высоты трапеции.
Так как трапеция равнобедренная, то треугольники ABH1 и CDH2 равны. Значит AH1 = DH2.
BCH2H1 - прямоугольник, следовательно, BC = H1H2.
S ABCD = 1/2 * BH1 * (AD + BC) =
= 1/2 * h * (AH1 + H1H2 + DH2 + BC) =
= 1/2 * h * (DH2 + H1H2 + DH2 + H1H2) =
= 1/2 * h * (2 * DH2 + 2 * H1H2) = h * (DH2 + H1H2) =
= h * DH1.
Осталось найти DH1.
Так как треугольник ABD вписан в окружность (она является для треугольника описанной) , тогда по теореме синусов
BD/sin BAD = 2 * r => BD = 2 * r * sin alpha
Из прямоугольного треугольника BH1D:
BD^2 = BH1^2 + DH1^2 =>
4 * r^2 * sin^2 alpha = h^2 + DH1^2
DH1^2 = 4 * r^2 * sin^2 alpha - h^2
DH1 = (4 * r^2 * sin^2 alpha - h^2)^(1/2)
Следовательно,
S ABCD = h * (4 * r^2 * sin^2 alpha - h^2)^(1/2)
Наверное как-то так :)

Поскольку окружность касается обоих оснований, то высота будет равна диаметру данной окружности, т. е h=2r. Основания находятся по формулам 2r*tg(a/2) и 2r*ctg(a/2). Указание: Соединить центр окружности с вершинами трапеции и провести радиусы к основаниям. Из треугольников, прилегающих к основаниям, вычислить их длину, пользуясь тем, что отрезки, соединяющие вершины с центром, делят соответствующие углы трапеции пополам.
Таким образом, площадь трапеции равна: 1/2 * (2r*tg(a/2)+2r*ctg(a/2))*2r=(2*r^2)/sina
Ответ: 2r^2/sina

Саша, наконец я тебя нашла !!!

Я нашла!