Доказать суму кубов? Доказать, что сумма кубов трёх последовательных целых чисел обязательно делится на 9

Пусть М = n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3, где n — любое натуральное число.
Известно, что при делении на 3 числа n может получиться один из трех остатков: 0, 1, 2. Следовательно, множество всех натуральных чисел n можно представить в свою очередь в виде n=3m; n=3m + 1 и n= 3m + 2, где m = 0, 1, 2, ..

1) Пусть п = 3m, где m = 0, 1, 2, ..
Тогда М = (3m)^3 + (3m + 1)^3 + (3m + 2)^3 = 27m^3 + 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 + 27m^3 + 54m^2 + 36m + 8. После приведения подобных видно, что каждое из слагаемых делится на 9.
2) Пусть n = 3m + 1, где m = 0, 1, 2, ..
Тогда М = (3m + 1)^3 + (3m + 2)^3 + (3m + 3)^3
После возведения в куб каждого члена выражения и приведения подобных так же получим, что каждое из слагаемых делится на 9.
3) Пусть n = 3m + 2, где m = 0, 1, 2, ..
Тогда
М = (3m + 2)^3 + (3m +3)^3 + (3m + 4)^3
После возведения в куб каждого члена выражения и приведения подобных так же получим, что каждое из слагаемых делится на 9.
Следовательно, в каждом случае натуральное число М делится на 9, что и требовалось доказать.

Три числа (а-1), а, (а+1). Возводим в куб
(a-1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a -1
a^3
(a+1)^3 = a^3 + 3a^2 + 3a +1
Складываем и получаем
3a^3 + 6a = 3a * (a^2 + 2)
Первый сомножитель делится на 3. Остается доказать, что a * (a^2 + 2) тоже делится на 3. Если а кратно 3, то всё понятно. Остаются два варианта, когда а не кратно 3
1. а = 3х + 1
2. а = 3х - 1
Подставляе эти значения в скобку
1. (3х + 1)^2 + 1 = 9x^2 + 6x + 1 + 2 = 9x^2 + 6x + 3
2. (3х - 1)^2 + 1 = 9x^2 - 6x + 1 + 2 = 9x^2 - 6x + 3
Как видно, значение в скобках при а некратном 3 будет делиться на 3. Значит сумма кубов трех последовательных чисел делится на 9