Если сумма трех чисел делится на 6, то эта сумма - число четное. Здесь или все слагаемые - четные числа, или одно слагаемое - четное число, а два других - нечетные. В обоих случаях кубы этих чисел будут или все четные, или одно четное и два нечетных, что в сумме даст четное число.
Остается доказать делимость на 3. Вариант, когда все слагаемые кратны 3 пояснений не требует. Рассмотрим другие варианты слагаемых
1. (3а+1) + (3в+1) + (3с-2)
2. 3а + (3в-1) + (3с+1)
Сумма слагаемых кратна 3, т. к. свободный член = 0. Возводим в куб
27a^3 + 27a^2 + 9a + 1 + 27в^3 + 27в^2 + 9в + 1 + 27c^3 + 27c^^2 + 9c - 8
Все члены, кроме свободных, кратны 3. СВободные члены в сумме
1 + 1 - 8 = -6
дают число тоже кратное 3.
Значит сумма кубов чисел кратна 3, а следовательно и 6.
Аналогично доказывается другой вариант - сумма свободных членов будет кратна 3 или равна 0.
Домашние задания: Другие предметы
пожалуйста очень надо. сумма трёх целых чисел делится на 6.Докажите что сумма кубов этих чисел делится на 6
я так понял к олимпиаде готовишся джавад... мы тоже готовились... и несмогли решить эту задачу.
Elena Polyakova
64 074
Для любого целого
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)
Произведение трёх последовательных чисел.
Хотя бы одно из них делится на 2, ровно одно делится на 3, произведение делится на6
a^3+b^3+c^3-(a+b+c)=a^3-a+b^3-b+c^3-c, делится на 6.
a+b+c делится на 6
Разность делится, вычитаемое делится,
a^3+b^3+c^3 делится на 6.
x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)
Произведение трёх последовательных чисел.
Хотя бы одно из них делится на 2, ровно одно делится на 3, произведение делится на6
a^3+b^3+c^3-(a+b+c)=a^3-a+b^3-b+c^3-c, делится на 6.
a+b+c делится на 6
Разность делится, вычитаемое делится,
a^3+b^3+c^3 делится на 6.
_______ _______
1 974
Похожие вопросы
- Доказать суму кубов? Доказать, что сумма кубов трёх последовательных целых чисел обязательно делится на 9
- Докажите что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делиться на 9! пожалуйста или посдкажите учебник
- Сумма трёх натуральных чисел a,b,c равна 758.
- Сколько целых чисел от 1 до 2001 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?
- какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и с права, чтобы получилось четырехзначное число делящееся. а) 9 в) 6
- Как доказать, что разность квадратов нечётных чисел делится на 8 ?
- нужна помощь. у натурального числа n ровно 6 натуральных делителей. сумма этих делителей равна 3500. найдите n.
- Сколько существует натуральных трехзначных чисел, которые делятся только на одно из чисел 5 или 6?
- докажите что число a.122333444455555666666777777788888888999999999 не может быть квадратом никакого натурального числа.
- На доске написано более 54, но менее 72 целых чисел...