Как доказать, что разность квадратов нечётных чисел делится на 8 ?

Пусть первое число 2m+1, второе число 2n+1,
тогда разность их квадратов можно представить в виде
(2m+1)^2-(2n+1)^2=(2m+1-2n-1)(2m+1+2n+1)=4(m-n)(m+n+1)

Если m и n оба четные или нечетные, то |m-n| четное число и кратно 2, а значит 4(m-n)(m+n+2) кратно 8.
Если из m и n одно четное, а другое нечетное, то m+n нечетное, а m+n+1 четное число и кратно 2, а значит 4(m-n)(m+n+2) также кратно 8

Решение. (2*n+1)^2-(2*k+1)^2=(2*n+1+2*k+1)*(2*n+1-2*k-1)=2*(n+k+1)*2(n-k)=4*(n+k+1)*(n-k);Дальше рассуждаем; Если п и к обе четные или нечетные, то первая скобка -нечетное число, а вторая-четное число. Если п нечетное, а к-четное, то первая скобка-четное число, а вторая-нечетное. Таким образом к множителю 4 добавляется множитель 2. Что и требовалось доказать.

Попробуйте так ( только вы не написали для какого класса... то, что я предлагаю работает с 8 класса) :
Допустим х - некоторое нечетное число, тогда следующим нечетным числом будет - (х+2). Рассмотри разность квадратов этих чисел : х в квадрате минус (х+2) в квадрате = (х-(х+2)) (х+(х+2))=-2(2х+2)=- 4(х+1).
Число ( х+1) - чётное, значит оно делится на 2, тогда мы можем строчку вычислений продолжить так = -8 умножить на дробь х+1/2. Один из множителе ( -8) делится на 8, значит и всё произведение делится на 8 без остатка. , т. е разность квадратов нечётных чисел делится на 8.