докажите что число a.122333444455555666666777777788888888999999999 не может быть квадратом никакого натурального числа.

Доказать, что натуральное число
a = 122333444455555666666777777788888888999999999,
десятичная запись которого состоит из одной единицы, двух двоек, трёх троек, …, девяти девяток, не может быть квадратом никакого натурального числа.

--------------------------------------------------------------------------------
Рассматриваемое натуральное число содержит
N = 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45 цифр. Но в данном случае рассматривать все цифры числа нет необходимости. Достаточно ограничиться лишь последними двумя.
Наше число — нечётное, и могло бы быть квадратом лишь нечётного числа.
Представим исходное нечётное натуральное число в виде
2·k − 1, где k — натуральное. Тогда его квадрат равен
(2·k − 1)² = 4·k² − 4·k + 1 = 4·k·(k − 1) + 1
Квадрат нечётного натурального числа при делении на 4 даёт остаток, равный только единице. Рассматриваемое же натуральное число оканчивается на 99 и при делении на 4 даёт остаток, равный 3.
Следовательно, рассматриваемое натуральное число не может быть квадратом никакого натурального числа.

Предположим, что наше число является квадратом натурального числа А. Пусть А = 10B + x, где x - последняя цифра числа А. Тогда A^2 = (10B + x)^2 = 100B^2 + 20xB + x^2. Поскольку A^2 оканчивается на 9, то и x^2 тоже оканчивается на 9, поэтому x = 3 или x = 7, так как только эти цифры в квадрате оканчиваются на 9.

Пусть x = 3. Тогда A^2 = (10B + 3)^2 = 100B^2 + 60B + 9 = 10(10B^2 + 6B ) + 9. Но 10B^2 + 6B - четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A^2 четная. Таким образом, A^2 не может оканчиваться на 99.

Пусть x = 7. Тогда A^2 = (10B + 7)^2 = 100B^2 + 140B + 49 = 10(10B^2 + 14B + 4) + 9. Но 10B^2 + 14B + 4 - четное число, поэтому оно оканчивается на четную цифру, значит, предпоследняя цифра числа A^2 четная. Таким образом, A^2 не может оканчиваться на 99.

а