Помогите пожалуйста с решением задачи: Докажите что число p^2 -q^2, где p и q - простые числа, большие 3, делится на 24

(p-q)*(p+q)
Тк p и q простые то они нечетные а значит

p-q = 2 m (1)
p+q = 2 n (2)

p = n + m
q = n - m
тк p q простые
то
n, m взаимнопросты (доказывается от противного, иначе можно вынести множитель за скобкуи получить противоречие с простотой p или q)

тогда необходимо показать
что n*m делится на 6
Для этого достаточно показать что
1)либо m либо n делятся на 3
2)аналогично для 2

Допустим ни м ни н на 3 не делятся
тогда остатки соответственно 2 и 1
m сравним с 2 по модулю 3
n сравним с 1 по модулю 3
(или наоборот или оба одинаковы сразу)
тогда либо сумма либо их разность будет сравнима с нулем по модулю 3 (тоесть делиться без остатка)
в нашем случае
n + m сравнима с 2+1 = 3 сравнима с 0 по модулю 3
Тоесть p делится на 3
Но тк p>3 то p = 3 * что-то еще, то есть p не простое => противоречие
Значит либо m либо n делятся на 3

(Случай когда m ~ 2 n ~ 2 (или 1 но ОДНОВРЕМЕННО) по модулю 3 очень простой - рассматриваем разность m-n - получаем ноль по модулю 3 и все тоже самое)

Аналогично пусть ни м ни н не делятся на 2
тогда их остатки от деления 1
Тогда разность n-m делится на 2, а это должно быть простое число, приходим к противоречию.

Следовательно либо m либо n делятся на 2

Тк 2 и 3 взаимнопростые числа то из этих двух утвержений следует что m*n делится на 6
Тогда (p-q)*(p+q) = 4*m*n делится на 24 (Ваш капитан очевидность)

Конец решения.
Готов ответить на вопросы по поводу решения в личке или комментах.

Такое число не обязательно делится на 24.