докажите, что при любом натуральном n число n^2 (n^2 - 1) делится на 12

n^2 (n^2 - 1) = n*n*(n-1)*(n+1)
числа (n-1),n,(n+1) - это три числа, идущие по порядку, следовательно, одно из них обязательно делится на 3
остается доказать, что число делится на 4
если n четное, то n делится на 2 => n^2 делится на 4
если n нечетное, то (n+1) и (n-1) - четные => (n+1)(n-1) делится на 2*2, т. е. на 4.
Мы доказали, что число делится и на 4, и на 3, т. е. на 12.

n²(n²-1)
Если n -чётное, n=2k, то 4к²(4k²-1) делится на 4
Если нечётное, n=2k+1, то (2k+1)²((2k+1)²-1)=(2k+1)²(4k²+4k+1-1)=4k(2k+1)²(k+1) - делится на 4
Число n при делении на 3 может давать остатки 0 и ±1
Если n=3m, то 9n²(9n²-1) делится на 3, а значит и на 4×3=12
Если n=3m±1, то (3m±1)²((3m±1)²-1)=(3m±1)²(9m²±6m+1-1)=(3m±1)²(9m²±6m)=3m(3m±1)²(3m±2) - делится на 3.
Мы доказали, что для любых натуральных n число всегда делится и на 3, и на 4

Решение
первое задание
n^3+3n^2+5n+3 = (n^3+5n)+ (3n^2+3) =(n^3+5n)+ 3(n^2+1)
второе слагаемое делится на 3 при любых n, осталось доказать, что первое слагаемое кратно 3 при любых n
Разобьём все числа на три класса 1) 3к 2) 3к+1 3) 3к+2 Каждое натуральное число принадлежит какому-то одному классу
1) n^3+5n=(3к) ^3+5(3к) = 3 ( 9к^3)+5к) то есть числа этого класса являются делителями данного выражения
2) n^3+5n = (3к+1)^3+5(3к+1)=
27к^3+ 27к^2+9к+1+15к+5 = 27к^3+ 27к^2+24к+6 = 3( 9к^3+ 9к^2+8к+2)
данное выражение делится на 3 и для чисел этого класса
3) n^3+5n = (3к+2)^3+5(3к+2)=
= 27к^3+ 54к^2+36к+8+15к+10 = 27к^3+ 54к^2+51к+18 =3( 9к^3+ 18к^2+17к+6)
данное выражение делится на 3 и для чисел вида (3к+2 )
вывод число (n^3+3n^2+5n+3) делится на 3 при любом n принадлещажее к N
Второе задание
2n^3-3n^2+n = n( 2n^2-3n+1) = n(n-1)(2n-1)
n(n-1)-это произведение двух последовательных натуральных чисел и одно из них делится на 2, значит выражение 2n^3-3n^2+n делится на 2 при любом n принадлещажее к N ( n>1)
Самостоятельно докажи, как в первом примере, что данное выражение делится на 3
для этого нужно доказать делимость на 3 выражения 2n^3+n
Нравится Пожаловаться
4 ОТВЕТА
Наталья Гений (63383) 6 лет назад
решим методом математической индукции

1. n^3+3n^2+5n+3

1) база: n=1, n^3+3n^2+5n+3=12 - делится на 3

2) индуктивный переход: пусть n^3+3n^2+5n+3 кратно 3,
покажем, что (n+1)^3+3(n+1)^2+5(n+1)+3 тоже кратно 3

(n+1)^3+3(n+1)^2+5(n+1)+3 = n^3+3n^2+3n+1+3n^2+6n+3+5n+5+3 =
= (n^3+3n^2+5n+3) + 3(n^2+3n+3)
каждое из слагаемых делится на 3, а значит и все выражение n^3+3n^2+5n+3 делится на 3

2. 2n^3-3n^2+n

1) база: n=1, 2n^3-3n^2+n =0 - делится на 6

2) индуктивный переход: пусть 2n^3-3n^2+n кратно 6,
покажем, что 2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1) тоже кратно 6

2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1)= 2n^3+6n^2+6n+2-3n^2-6n-3+n+1 =
= (2n^3-3n^2+n) + 6n^2
каждое из слагаемых делится на 6, а значит и все выражение 2(n+1)^3-3(n+1)^2+(n+1) делится на 6
6 Нравится Пожаловаться
Берёзка белая Мыслитель (8285) 6 лет назад
надо воспользоваться методом математической индукции
1) если n=1, то 1+3+5+3=12 делится на 3
2) предположим, что при n=к число делится на 3
3) пусть n=к+1, тогда ...подставь к+1вместо n, раскрой скобки по формулам Куб суммы и Квадрат суммы, приведи подобные слагаемые, должно получиться к^3+6k^2+14k+12=(k^3+3k^2+5k+3)+(3k^2+9k+9)=(k^3+3k^2+5k+3)+3(k^2+3k+3)
первое слагаемое делится на 3 по предположению (см. шаг 2), второе слагаемое тоже делится на 3, значит и вся сумма делится на 3.
Значит, число n^3+3n^2+5n+3 делится на 3 при любом n принадлещажее к N
Задание 2 решается аналогично
1 Нравится Пожаловаться
Асия Самышкина Мудрец (13217) 6 лет назад
1)при n=1 +3+5+3=12,12 делится на3
2)пусть, при k утверждение верно.
3)докажем справедливость при n=k+1.Имеем: k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5+3=k^3+3k^2+5k+3+3k^2+6k+3+6,где первые 3 слагаемые кратны 3 по предположению2),а остальные, т. к. содержат множитель3 тоже кратны 3. Следовательно сумма кратна 3.ЧТД
Использован метод математической индукции. Попробуй 2) самостоятельно.
1 Нравится Пожаловаться
Rufat Kurmukov Ученик (168) 1 минуту назад
27^4-3^10=(3^3)^4-3^10=3^12-3^10=3^10(3^2-1)=3^10*8. Один из
Нравится Редактировать Удалить