Помогите, пожалуйста! Докажите, что при любом натуральном n: 1^n+3^n+5^n+7^n+9^n+11^n+13^n+15^n кратен 8.

1^n + 3^n + 5^n + 7^n + 9^n + 11^n + 13^n + 15^n

Здесь надо не индукцию использовать, а формулы сокращённого умножения многочленов

А они, сладенькие, говорят нам, что для любого натурального n справедливо разложение

a^n - b^n = (a - b) * (...)

чё там в скобочках - не важно. Будем использовать это свойство

Можно представить наше безобразие как

1^n + 3^n + 5^n + 7^n + 9^n + 11^n + 13^n + 15^n =
= (9^n - 1^n) + (11^n - 3^n) + (13^n - 5^n) + (15^n - 7^n) + 2 * [1^n + 3^n + 5^n + 7^n]

А вот это безобразие 1^n + 3^n + 5^n + 7^n можно представить как

1^n + 3^n + 5^n + 7^n =
(5^n - 1^n) + (7^n - 3^n) + 2 * (1^n + 3^n)

А вот это безобразие 1^n + 3^n можно представить как

1^n + 3^n = (3^n - 1^n) + 2 * 1^n

Собираем все в кучу

1^n + 3^n + 5^n + 7^n + 9^n + 11^n + 13^n + 15^n =
= (9^n - 1^n) + (11^n - 3^n) + (13^n - 5^n) + (15^n - 7^n) +
+ 2 * [(5^n - 1^n) + (7^n - 3^n) + 2 * ((3^n - 1^n) + 2 * 1^n)]

Со скобочками пока ничего делать не будем, будем использовать наш стероид

Напоминаю

a^n - b^n = (a - b) * (...)

Тогда можно смело писать

1^n + 3^n + 5^n + 7^n + 9^n + 11^n + 13^n + 15^n =
= (9 - 1) * (...) + (11- 3) * (...) + (13 - 5) * (...) + (15 - 7) * (...) +
+ 2 * [(5 - 1) * (...) + (7 - 3) * (...) + 2 * ((3 - 1) * (...) + 2 * 1^n)] =
= 8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) +
+ 2 * [4 * (...) + 4 * (...) + 2 * (2 * (...) + 2)]

А вот теперь скобки нах

8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) +
+ 8 * (...) + 8 * (...) + 4 * (2 * (...) + 2) =
8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) +
+ 8 * (...) + 8 * (...) + 8 * (...) + 8 = 8 * (...)

собственно все

Формулировка задачи посложнее, чем у Великой теоремы Ферма... Это где и зачем такое задают?

Остатки от деления kⁿ на 8 равны 1 для чётных n, для нечётных они равны k mod 8.
Таким образом для чётных степеней сумма остатков всех ваших слагаемых равна 8,
а для нечётных -- (1+3+5+7)*2 = 32.
В обоих случаях сумма кратна 8.