помогите решить пожалуйста: 5^n-3^n+2n кратно 4

Задача решается множеством способов, но только для целых неотрицательных n.
1) Прежде всего проверяем верно ли для n=0, n=1, n=2 простым подсчетом.
Дальше можно применить метод математической индукции.
(5^k-3^k+2k)-(5^n-3^n+2n) =d приращение результата на каждом шаге при k=n+1
d= 5*5^n-3*3^n+2(n+1) -5^n-3^n+2n = 4*5^n-2*3^n +2 делится на 4
потому что -3^n всегда нечетно, а -2*3^n делится только на 2 и не делится на 4.
Метод состоит в том, что имея начальный n успешно выполнящий условие, и следующий (n+1) тоже успешный согласно доказанной рекуррентной формуле, то любой следующий n тоже будет успешным. Приращение на каждом шаге кратно 4, и первое значение формулы кратно 4.

2) Можно загнать формулу в программу Excel целиком или по частям.
Любая степень пяти кончается на цифры 25.
Создаим столбец степеней от числа три, и посмотри на конечные 2 цифры
01
03
09
27
81
43 и т. д. Через 50 шагов они начнут повторяться не так ли ?
Потому что нечетных двузначных только 50.
На самом деле они начнут повторяться уже через 20 шагов.
Вычтем из ххххххх25 каждое из них.
хххххх25 -yyyy01 +2n = zzzzzz24 +2n при n=0
хххххх25 -yyyy03 +2n = zzzzzz22 +2n при n=1
хххххх25 -yyyy09 +2n = zzzzzz16 +2n при n=2
хххххх25 -yyyy27 +2n = zzzzzz98 +2n при n=3
при четном n делятся на 4 концы 24, 16 и т. д. и добавляется 2n кратное 4.
при нечетном n концы 22, 98 и т. д. на 4 не делятся, но добавляется 2n некратное 4,
и результат получается всегда кратный 4. То есть не зная особых хитростей математики
мы добиваемся успеха.

3) А зная математику
(5^n-3^n+2n) = при n=2k+1 нечетном
= (4a+1)^n -(4a - 1)^n +2n =
= (4a+1)*(16a^2 + 8a +1^2)^k - (4a-1)*(16a^2 - 8a + 1^2)^k +2n
отбрасывая все члены кратные 4 в степенях оставляем только степень единицы.
Нас здесь только остаток (вычет) интересует, и он равен
(4a+1) -(4a - 1) +2n =2n+2 =2(n+1) кратно 4.

При n =2k четном (5^n-3^n+2n) = (4a+1)^n -(4a - 1)^n +2n =
= (16a^2 + 8a +1^2)^k - (16a^2 - 8a + 1^2)^k +2n
отбрасывая все члены кратные 4 в степенях оставляем только степень единицы.
Остаток 1 - 1+2*2k кратно 4.

какие значения может принимать N?
потому что для n=0 ни о какой кратности четырём речи не идёт...