Докажите, что n^2+n+1 не делится на 5 ни при каком натуральном n

Обычно доказывают делимость через остатки:

Если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на число m, то говорят, что a сравнимо с b по модулю m и записывают a=b (mod m).
Сравнения можно складывать и умножать. Если a = b (mod m) и c = d (mod m), n — произвольное натуральное число, то a + c = b + d (mod m), ac = bd (mod m) и a^n=b^n(mod m).

Для доказательства того, что n^2+n+1 не делится на 5, достаточно перебрать все остатки от деления на 5.
1) n=0(mod 5)
n^2=0^2(mod 5) n=0(mod 5)
0^2+0+1=1(mod 5) - деления нацело нет
2) n=1(mod 5)
n^2=1^2(mod 5) n=1(mod 5)
1^2+1+1=3(mod 5) - деления нацело нет
3) n=2(mod 5)
n^2=2^2(mod 5) n=2(mod 5)
2^2+2+1=7=2(mod 5) - деления нацело нет
4) n=3(mod 5)
n^2=3^2(mod 5) n=3(mod 5)
3^2+3+1=13=3(mod 5) - деления нацело нет
5) n=4(mod 5)
n^2=4^2(mod 5) n=4(mod 5)
4^2+4+1=21=1(mod 5) - деления нацело нет

При n = 1утверждение очевидно.
При n ≥ 2 n² + n + 1 = (n³ – 1)/(n – 1)
Для делимости дроби на 5 необходимо (но не достаточно) , чтобы её числитель (n³ – 1) был кратен 5-ти, т. е. оканчивался на 0 или на 5. Тогда число n³ должно оканчиваться на 1 или на 6.
На единицу оканчивается лишь куб числа оканчивающегося на единицу, а на шестёрку — лишь куб числа, оканчивающегося на шестёрку. Числа же, оканчивающиеся на 1 или на 6, дают при делении на 5 остаток 1 (n mod 5 = 1).
Выражение (n² + n + 1) при n mod 5 = 1 даёт при делении на 5 остаток 3.
Утверждение доказано.

Хых, как раз недавно стал изучать метод индукции, сейчас поробую доказать
1)n=1
n^2+n+1/5=1+1+1/5=3/5 3 нацело не делится на 5.
Пусть n=4,тогда
16+4+1/5=21/5 двадцать один нацело не дилться на пять
2)n=k
k^2+k+1/5 тоже не делиться нацело на пять
3)n=k+1
(k+1)^2+k+1+1/5=k^2+2k+1+k+2/5=k^2+3k+3/5 следовательно не делиться нацело на пять.