нужна помощь. у натурального числа n ровно 6 натуральных делителей. сумма этих делителей равна 3500. найдите n.

Посмотрим на количество простых делителей у числа n. Если их покрайне мере три. То у числа n не менее восьми делителей (a,b,c - простые делители
тогда у n есть делители 1,a,b,c,ab,ac,bc,abc) а их должно быть ровно 6.
Если у n ровно 1 простой делитель х то n=x^t, тогда у n ровно t+1 делитель (
1,х^2,x^3,...x^t ) следовательно t =5
Cумма делителей числа n ровно 3500
если х не меньше чем 5 то сумма делителей n не меньше 5^5+5^4+...1=3906 что больше 3500
если х не более 4 то сумма делителей числа х не больше 4^5+4^4+...+1=1365 что меньше 3500
Если у n нет простых делителей то n=1 сумма делителей числа 1 равна 1.
Итого осталось разобрать всего 1 случай, когда у n два простых делителя a и b то есть n=a^x*b^y не умаляя общности x<=y
Делителей у числа n ровно (x+1)(y+1)
(делители n - это 1,b,b^2,...b^y,a,a*b,a*(b^2),...a*(b^y),...(a^x)*(b^y))
(x+1)(y+1)=6 причём x<=y
x+1=2 y+1=3 или x+1=1 y+1=6
Во втором случае получаем что x=0 что противоречит тому что у n ровно два простых делителя поэтому возможен только первый случай
x=1 y=2 cледовательно n=a*(b^2)
Сумма делителей числа n равна 1+b+b^2+a+a*b+a*b^2=(1+a)(1+b+b^2)
3500=(1+a)(1+b+b^2)
Заметим что b+b^2=b(b+1) равно произведению двух последовательных чисел то есть делится на 2 следовательно 1+b+b^2 не делится на 2,но 3500 делится на 4 следовательно a+1 делится на 4 то есть a=4k-1 где к
натуральное число и 4к-1 простое число
3500=(1+4к-1)(1+b+b^2)
3500=4k(1+b+b^2)
875=k(1+b+b^2)
если b=3 то 875=13к но 875 на 13 не делится
если b даёт остаток 1 при делении на 3 то 1+b+b^2 делится на 3 а 875 на 3 не делится
если b делится на 3 то так как b простое число и у него есть делители только 1 и оно само, 1 не равно 3 то b равно трём а этот случай уже разобран.
Таким образом b простое число дающее остаток 2 при делении на 3.
1.)b=2
b^2+b+1=5 => k=875/5=175 => a=4*175-1=699 не простое число.
2.)b=5
b^2+b+1=31 875 на 31 не делится => следовательно это b не подходит.
3.)b=11
b^2+b+1=133, 875 на 133 не делится =>следовательно это b не подходит.
4.)b=17
b^2+b+1=307, 875 на 307 не делится =>следовательно это b не подходит.
5.)b=23
b^2+b+1=553, 875 на 553 не делится =>следовательно это b не подходит.
6.)b=29
b^2+b+1=871, 875 на 871 не делится =>следовательно это b не подходит.
7.)b>=41
b^2+b+1>=1723, 875 не может делится на число большее себя следовательно эти b тоже не подходят
Таким образом мы разобрали все случаи и доказали что требуемых n не существует.

Вроде требуемых n не существует.

1996

https://www.youtube.com/watch?v=rX3FTRf_Kho&feature=youtu.be - вот тут эта задача разобрана