Докажите, что монастыри играли важную роль в истории Руси

Роль монастырей на Руси – многообразна и исключительна. Вот по крайней мере 4 её основных вида:

1) духовная;
2) политическая;
3) образовательная;
4) оборонительная.

Ниже – схематично, лишь в общих чертах.

1. Духовная роль монастырей в истории нашей страны – САМАЯ ВАЖНАЯ. Надо понимать: “свет для иноков – Ангелы, а для мiрян – монахи”. От св. Владимира и до Петра ВСЁ общество смотрело на это утверждение как на несомненную истину.

Конкретно проявлялась в:

1) в молитве за грешный мир, о чём неопровержимо засвидетельствовала народная мудрость: “молитвами монахов весь мір стоит” (ср. “не стоит село без праведника”);
2) в духовном окормлении сильных мiра сего (княжье духовничество), что способствовало духовному становлению Руси через водворение Христовых заповедей в сознании её правителей;
3) в научении народа истинному богопознанию, в исправлении нравов и утешении скорбящих. Достаточно привести примеры многовекового обращения за духовными советами, материальной помощью и чудесными исцелениями лиц всех существовавших сословий (от царей – до последних бродяг) к подвижникам Киево-Печерской, Троице-Сергиевой, Александро-Свирской и Алексанро-Невской лавр, Валаамской и Соловецкой обителей, Дивеева и Оптиной пустыни, и многих, многих иных.

2. Политическая роль монастырей также была очень значительной. Достаточно вспомнить то, что сделали для нашей страны Сергий Радонежский в XIV веке и Иосиф Волоцкий в XV-м.
Первый, своим благословением, своею молитвой и монахами своей Лавры (из которых самые известные – http://www.pravoslavie.ru/answers/071025134347.htm) положил начало освобождению Руси от монголо-татарского ига. Будучи уже старцем, совершил несколько пеших (!) походов из мн-ря в другие города (в частности, к Олегу Рязанскому, а это – почти 300 км.!) ради примирения враждующих сторон, что позволило избежать столь страшного братского кровопролития.
Второй, вместе с одним лишь Геннадием Новгородским, в течение десятков лет самоотверженно боролся – и молитвой к Богу, и своими писаниями (из которых главное творение – “Просветитель”), и личными беседами – с т.н. "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%8C_%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83%D1%8E%D1%89%D0%B8%D1%85", которая ставила под угрозу существование не только русской Церкви, но и самого государства. И им удалось удержать страну на грани её падения.

А сколько раз монастыри оставались для целых регионов страны единственным источником насущного хлеба! Это и Троицкая Лавра, и Волоцкая обитель, и Оптина пустынь, да и все остальные, т.к. одна из необходимых составляющих монастырского устава – "ухлебить алчущаго" (ср. Рим. 12:20 – т.е. даже врага!), без чего, по мнению их святых основателей, не имело бы оправдания перед Богом и само их монашеское делание.

3. Про несомненную и великую образовательную роль монастырей Вам уже ответил Игорь. Заметьте: человек, по-видимому, вовсе не испытывающий симпатии к монахам! Тем более важно, что даже он не смог не указать на первенствующую роль монастырей в повышении культурного уровня наших, глубоко верующих, но зачастую довольно невежественных предков.

Это, действительно, и летописцы (наша с Вами история!), и переписчики книг, и переводчики, и писатели, и хранители библиотек. Не забывайте, что многие сотни лет книги на Руси (да и во всём мiре) были настоящим сокровищем. И позволить себе их содержание, а тем более открыть к ним общественный доступ – было делом, помимо всего прочего, и великой любви к своему народу.
Это и 1-е семинарии общесословного состава, которые позволили начать исправление общего невежества если не с “отцов”, то хотя бы с “детей”, что впоследствии принесло желанные плоды. И многое другое.

4. Наконец, роль оборонительная. Здесь, думаю, Вам ещё меньше требуется приводить свидетельств. Да и места уже не осталось :)