Быть дождю. Безличное предложение?)

Абсолютно верно - инфинитивное безличное!

Да. Безличное ифинитивное предложение!

Да.

Конечно! Нет подлежащего ( кто? что?).

Безличными называются односоставные предложения, главный член которых называет процесс или состояние, независимые от активного деятеля (или признак, независимый от его носителя) . Например: Рассветает; Мне не спится; На улице холодно.
Семантической основой безличных предложений является отсутствие именно активного деятеля (или носителя признака) , так как указание на деятеля (или носителя признака) в предложении все-таки может быть, однако в такой форме, которая не допускает грамматического подлежащего. Ср. примеры: Я пою легко и Мне поется легко. В безличном предложении Мне поется легко есть указание на действующее лицо (мне) , однако форма глагола-сказуемого не допускает именительного падежа, его нельзя установить и по связи с другими словами, и действие представляется как протекающее независимо от деятеля. Примерно то же в следующих предложениях: Улица темна и На улице темно. В двусоставном предложении Улица темна обозначен носитель признака (улица) , а в безличном На улице темно признак выступает как существующий безотносительно к его носителю, причем и признак-то несколько меняет свое качество: он переходит в состояние.
Грамматические типы безличных предложений довольно разнообразны. Наиболее четки по своему строению и выражаемому значению глагольные безличные предложения.
Главный член односоставного предложения может быть выражен инфинитивом, не зависящим ни от какого другого члена предложения и обозначающим действие возможное или невозможное, необходимое, неизбежное. Такие предложения называют инфинитивными.
.Быть грозе великой! (П.) ; Эй, Азамат, не сносить тебе головы! (Л.) ; Им бы не слушать этот спич (Сим.).