Приводить матрицу к ступенчатому виду можно разными способами, и при этом получаются разные результаты. Это правильно?

Можно приводить разными способами, но используя лишь допустимые преобразования!
- перестановка строк
- умножение элементов строки на число
- сложение строк с записью результата в одну из использованных
- перестановка столбцов

Матрица лишь упрощенная форма записи СЛАУ и все допустимые действия с её коэффициентами аналогичны вышеприведенным преобразованиям в контексте привычных систем линейных уравнений (в развернутой форме записи) .
Переставляя столбцы нельзя забывать, что осуществляется и перестановка индексов неизвестных.

Да, матрицы могут быть различны, т. к. естественным образом зависят от применяемых преобразований. Но они эквивалентны между собой, а значит дают один и тот же вектор-столбец решение (с учетом порядка переменных, если были перестановки столбцов) .

Если же применяются приближенные вычисления (напр. программно) , то в силу ошибок округления желательно применять метод Гаусса с выбором главного элемента.

Можно разными способами, но результат одинаковый должен получиться

Я думаю так что способы бывают разные.
Но результат должен быть одинаков.

Получать разные результаты, это все равно что получать разные решения в обычной линейной системе из нескольких неизвестных.

Я полагаю речь идет о матрице решения линейных уравнений? И под результатом подразумевается решение системы.

Если считать перестановку строк и столбцов, разными результатами, то можно добиться, разных матриц.
Т. е. привидение к ступенчатому виду матрицы можно начать из различных начальных условиях и получать разные матрицы.

до некоторой степени ДА