Как в слое "кашЕй" объяснить постановку буквы Е? ) Контекст: "Семёнов вспомнил, что у него в парте есть горбушка с кашЕй"

По-моему, без ударения - е, под ударением - о.
Кашей, тушей.
Лапшой.

После шипящих и Ц под ударением пишется О, без ударения - Е : врачом. но солнцем.

Буквы е (ё)/о в окончаниях

1. В окончаниях глаголов после шипящих под ударением всегда пишется е/ё: жжёшь (жжёт, жжём, жжёте) , печёшь (печёт и т. д.) , сечёшь (сечёт и т. д.) , острижёшь (острижёт и т. д.) , истолчёшь (истолчёт и т. д.) .

Буква е/ё пишется также в форме предложного падежа местоимения что: на чём, о чём, при чём и в словах, образованных от этой формы: причём, никчёмный, нипочём.

2. В окончаниях существительных, прилагательных и наречий под ударением после шипящих пишется о, если произносится [о] , без ударения — е:

плечо, плечом, калачом, параличом, усачом, ключом, кишмишом, секачом, силачом, циркачом, вожжой, свечой, тиражом, за рубежом, метражом, плющом, борщом, свищом, хрящом, хвощом, Иваном Ильичом, Петром Кузьмичом, Семёном Фомичом; но: оборвышем, финишем, несмышлёнышем, хронометражем, саквояжем, неучем, френчем, смерчем, кашей, добычей, сажей, саржей, святошей, ножищей, рыбищей, сборищем, топорищем, зрелищем, Иваном Саввичем, Петром Петровичем, Гнёдичем, Дундичем, Машей; чужой (чужого, чужому, о чужом) , большой (большого, большому, о большом) , прост, меньшой (меньшого, меньшому, о меньшом) , прост. старшой (старшого, старшому, о старшом) ; но: колючего (колючему, о колючем) , большего (большему, о большем) , меньшего (меньшему, о меньшем) , старшего (старшему, о старшем) , горячего (горячему, о горячем) ; так же в окончании среднего рода кратких форм прилагательных: свежо предание, предположение общо; но: вещество тягуче и др. ; голышом, нагишом.

Примечание. Под ударением после шипящих в окончаниях существительных пишется е, если произносится [е] : каланчей, свечей, ножей, вожжей, клещей (род. п. ът. ч. от каланча, свеча, нож, вожжа, клещ).