Вопрос на 50 баллов (МатАн)...

я тебе сделаю, но тока не за баллы!!

Исследовать функцию:
y(x)=(x-2)*e^(-1/x)
1. Область определения функции (-бесконечность; 0) (0:бесконечность)
2. Множество значений функции (-бесконечность; бесконечность)
3. Проверим, является ли функция четной или не четной?
y(x)= (x-2)*e^(-1/x)
y(-x)=(-x-2)*e^(1/x), так как f(x) не=f(-x) и f(-x) не=-f(x), то данная функция не является ни четной ни не четной.
4. Найдем координаты точек пересечения графика функции с осмя координат:
а) с осью ОХ: у=0, (x-2)*e^(-1/x)=0, x=2, следовательно график пересекает ось ОХ в точке (2;0)
б) с осью ОУ: х=0, это точка разрыва функции, следовательно график не пересекает ось ОУ
5) Найдем точки экстремума функции и промежутки возрастание и убывания:
у'(x)=e^(-1/x)(1+1/x-2/x^2); y'(x)=0
e^(-1/x)(1+1/x-2/x^2)=0
1+1/x-2/x^2=0
x^2+x-2=0
x1=1
x2=-2. Получили две сационарные точки, проверим их на экстремум:
Так как на промежутках (-бесконечность; -2) и (1; бесконечность) у'(x)>0, то на этих промежутках функция возрастает.
Так как на промежутке (-2;0) и (0;1) у'(x)<0, то на этом промежутке функция убывает.
Так как при переходе через точку х=-2 производная меняет свой знак с + на - ,то в этой точке функция имеет максимум у (-2)=-4*е^(1/2)
Так как при переходе через точку х=1 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимуму y(1)=-1/e
6. Найдем точки перегиба функции и промежутки выпуклости:
y"(x)=e^(-1/x)*(1/x^2)*(1+1/x-2/x^2)+e^(-1/x)*(4/x^3-1/x^2)=e^(-1/x)(5/x^3-2/x^4); y"(x)=0
e^(-1/x)(5/x^3-2/x^4)=0
5/x^3-2/x^4=0
5x-2=0
x=2/5
Так как на промежутках (-бесконечность; 0) и (0;2/5) у"(x)<0, то на этих промежутках график функци направлен выпуклостью вверх.
Так как на промежутке (2/5;бесконечность) у"(x)>0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклотью вниз
Так как при переходе через точку х=2/5 вторая производная меняет свой знак, то точка х=2/5 является точой перегиба. у (2/5)=-1,6*е^(-2.5)
7. проверим имеет данная функция асимптоты:
а) вертикальные
Так как x=0 точка разрыва функции, то найдем односторонние пределы :
lim (x стремится к нулю по недостатку) (x-2)*e^(-1/x)=- бсконечность
lim (x стремится к нулю по избытку) (x-2)*e^(-1/x)=0
Так как односторонний предел бесконечен то прямая х=0 является вертикальной асимптотой
б) наклонные вида у=kx+b
k=lim у (x)/x=lim((x-2)*e^(-1/x)/x)= 1
b=lim (y(x)-kx) = lim((x-2)*e^(-1/x)-x)= 0
Прямая у=х является наклонной асимптотой.
8. все строй график

Если захочешь построить с большей точностью - просто подставь еще несколько точек. Удачи %)
Удачи! %)

а пример из головы выдумать?))

а че легче есть??