почему Александр Невский воевал с западом и сотрудничал с востоком?

Потому что был мудр. Мудрость Александра Невского проявилась в том, что он не стал воевать на два фронта, а, договорившись с монголами и обезопасив таким образом свой тыл, он начал масштабную войну с Западом, защищая русские земли от вражеских нашествий.
Главным достижением Александра Невского стала его мирная политика на Востоке. Его обаяние покорило сначала Батыя (в 1247 году) , и Александр получил от хана ярлык на княжение в Киеве, затем (в 1252 году) он завязал тесную дружбу с Сартаком (сын Батыя, который управлял всеми делами «ввиду старости отца») , и получил ярлык на княжение во Владимире. Когда Батый пожелал отделиться от Монголии, Александр Невский пообещал хану свою поддержку - и в результате похода против Монголии Батый, дружески относившийся к Александру, стал главной силой Великой Степи.

Прост

Потому, что на момент его правления восток - татары- уже были. Сковырнуть их было проблематично. А вот с запада пытались влезть - отбивался...

Вопрос не правильный. И не корректный. Русь потому пала под ударами. Монголо - татарских завоевателей. Виноваты как раз Рюриковичи при дележе главного трона в Киеве. Не было союза не дружбы уже с 11 века небыло спокойствия от междоусобий. А с этого века зародилась та страшная Монгольская империя Чингисхана. Так почему князь Александр Невский заручился поддержкой хана Батыя. Запад был гораздо опаснее монголов. Князь видел немцы сильны не мечем. А именно крещением путем насилия и меча. А монголы были сильны в маневренной войне в чем Русь им проигрывала. И небыло на Руси единого князя это было главной силой в победе. Лишь он начал понимать лишь создав единое сильное государство монголов. Можно было победить но сперва нужна была победа в искусстве дипломатии. Вот почему против крестоносцев Александр был полководцем. А против монголов искусство мудрого дипломата.