К какой части речи относится придаточное времени?

Части речи – слова, объединённые общим грамматическим значением, вопросами, на которые отвечают, системой морфологических признаков, синтаксической ролью в предложении. Часть речи – термин морфологии.

Придаточные – это зависимые предложения в составе сложноподчинённых. Предложение, придаточное предложение, придаточное времени – термины синтаксиса. Придаточные времени – это обстоятельственные придаточные, которые отвечают на вопросы:
● когда?
● как долго?
● с каких пор?
● до каких пор?

Например: Песни, сказки, былины будут читать, пока будет русский народ (Л. Толстой). Будут читать до каких пор? как долго? – пока будет русский народ.

Естественно, что никакое придаточное, в том числе и придаточное времени, частью речи быть не может.

Придаточное времени относится к обстоятельственным придаточным. Видимо, ты это имела в виду.

Вопросы: придаточные времени отвечают на вопросы когда? как долго? с каких пор? до каких пор?
Они позвонили, когда мы уже закончили работу.
(They called when we had already finished our work).

Придаточные места отвечают на вопросы где? куда? откуда? Они относятся к сочетанию сказуемого с указательными словами (там, туда, оттуда) , например:
Они поехали туда, где жили их родители.
(They went where their parents were living).

Придаточное не может относиться к какой-либо части речи, ты вопрос, наверное, не поняла. Может быть в редких случаях все придаточное выражено одним словом, и это, например, наречие или существительное с предлогом...