Как правильно Регистрация по месту жительства или по месту проживания

Местом пребывания является место, где гражданин временно проживает, - гостиница, санаторий, дом отдыха, пансионат, кемпинг, больница, туристская база, иное подобное учреждение, а также жилое помещение, не являющееся местом жительства гражданина.

Местом жительства является место, где гражданин постоянно или преимущественно проживает в качестве собственника, по договору найма (поднайма) , социального найма либо на иных основаниях, предусмотренных законодательством Российской Федерации, - жилой дом, квартира, служебное жилое помещение, специализированные дома (общежитие, гостиница-приют, дом маневренного фонда, специальный дом для одиноких и престарелых, дом-интернат для инвалидов, ветеранов и другие) , а также иное жилое помещение.
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 14.02.1997 N 172, от 14.08.2002 N 599)

По нормам русского языка-равнозначно... по бюрократическим нормам- ХЗ. .
--------------------------
Пребывания или проживания? См. след. ответ

И так и так правильно, только регистрация по месту жительства указывается непосредственно в паспорте, а регистрация по месту пребывания идёт отдельной бумажкой.

правильно РЕГИСТРАЦИЯ ПО МЕСТУ ЖИТЕЛЬСТВА.
а еще существует РЕГИСТРАЦИЯ ПО МЕСТУ ПРЕБЫВАНИЯ... (временная регистрация)

По Закону РФ от 25.06.1993 № 5242-1 (ред. от 18.07.2006) «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации» бывает регистрация по месту жительства и регистрация по месту пребывания...

Пребывания или проживания? Это две большие разницы для нашего демократического государства.

Если Вас интересует юридический смысл, то это два разных терминологических понятия, содержащих разные смысловые нагрузки в правоприменительной практике!
Объясняя простым языком, место жительство - это постоянное место жительства гражданина! А место пребывание - это временно!