Можно ли получить российское гражданство , не отказываясь от гражданства другой страны?

Здравствуйте. Смотря где вы будите подавать заявление на гражданство Российской Федерации?? ? Если такое заявление вы подадите в России, в таком случае вам нужен нотариальный отказ от гражданства Болгарии, этот нотариальный отказ не влечет за собой утраты гражданства Болгарии, то есть не означает выход из гражданства Болгарии. При подаче заявления на гражданство Российской Федерации вы должны отправить этот нотариальный отказ в Консульстве Болгарии в РФ. Однако такие Нотариальные отказы не одна Посольства не признает. и по этому отправив такой нотариальный отказ по почте в Посольстве Болгарии, вы можете быть спокойны поскольку Посольство Болгарии такие отказы не признает.
в случае если вы будите подавать заявление на гражданство РФ в Посольстве Российской Федерации в Болгарии, то действительно там требуют выход из иного гражданство.

Ответ на Ваш вопрос кроется в ФЗ "О гражданстве РФ"
http://www.consultant.ru/popular/civic/34_2.html#p97
Статья 13. Прием в гражданство Российской Федерации в общем порядке
1. Иностранные граждане и лица без гражданства, достигшие возраста восемнадцати лет и обладающие дееспособностью, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в общем порядке при условии, если указанные граждане и лица:
г) обратились в полномочный орган иностранного государства с заявлениями об отказе от имеющегося у них иного гражданства. Отказ от иного гражданства не требуется, если это предусмотрено международным договором Российской Федерации или настоящим Федеральным законом либо если отказ от иного гражданства невозможен в силу не зависящих от лица причин;

Это смотря какой страны...

Двойное гражданство будет признано за гражданином только в том случае, если с иностранным государством, гражданином которого он является, имеется на этот счет международный договор.
В данное время в РФ действуют лишь два международных договора в части двойного гражданства: Соглашение между Российской Федерацией и Туркменистаном об урегулировании вопросов двойного гражданства и Договор между РФ и Республикой Таджикистан об урегулировании вопросов двойного гражданства.