имеет ли фмс право выдавать под роспись направление в военкомат при регистрации по месту жительства?

выдавать - имеет.
от подписи можно отказаться. Отказать в регистрации на этом основании Вам не могут.
самое страшное, что может произойти, ФМС сама поставит в известность военкомат о месте Вашей регистрации.

А что это за направление такое? И зачем оно нужно?

Выдать имеет, вы имеете право ничего не подписывать. Чисто добровольное дело. Отказать в оказании госуслуги из-за вашего отказа не имеют права.

Читаем ПРИКАЗ от 10 сентября 2007 года ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ИНСТРУКЦИИ ОБ ОРГАНИЗАЦИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЕННЫХ
КОМИССАРИАТОВ, ОРГАНОВ ВНУТРЕННИХ ДЕЛ И ТЕРРИТОРИАЛЬНЫХ
ОРГАНОВ ФЕДЕРАЛЬНОЙ МИГРАЦИОННОЙ СЛУЖБЫ В РАБОТЕ
ПО ОБЕСПЕЧЕНИЮ ИСПОЛНЕНИЯ ГРАЖДАНАМИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОИНСКОЙ ОБЯЗАННОСТИ (Зарегистрировано в Минюсте РФ 12 октября 2007 г. N 10315)

6. Территориальные органы ФМС России:
б) при обращении граждан в территориальные органы ФМС России для регистрации по месту жительства (учета по месту пребывания на срок более трех месяцев) , снятия с регистрационного учета по месту жительства (снятия с учета по месту пребывания) проверяют наличие в паспортах отметок об отношении их к воинской обязанности, информируют граждан, не состоящих, но обязанных состоять на воинском учете, об их обязанности состоять на воинском учете по месту жительства (месту пребывания на срок более трех месяцев) ;
в) при отсутствии в паспорте гражданина, не состоящего, но обязанного состоять на воинском учете, отметки об отношении к воинской обязанности и отсутствии в документах воинского учета (отсутствии возможности (или отказе) представить документы воинского учета) отметок соответствующих военных комиссариатов о приеме на воинский учет, вручают гражданину направление для постановки на воинский учет в военный комиссариат по месту его жительства (по месту пребывания на срок более трех месяцев) согласно приложению N 3 к настоящей Инструкции;
г) направляют в двухнедельный срок в военные комиссариаты сведения о случаях выявления граждан, не состоящих, но обязанных состоять на воинском учете, а также сведения о лицах, приобретших гражданство Российской Федерации и подлежащих постановке на воинский учет, согласно приложению N 4 к настоящей Инструкции.

Я так понимаю, если молодой человек, имея 2 квартиры, не регистрируясь по месту жительства ни в одной из них, переезжает каждые 3 месяца туда-сюда, то он не обязан вставать на воинский учет, а следовательно освобождается от призыва.