могу ли после окончания учебы подавать на получение российского гражданства в упрощенном порядке

ДА, МОЖЕТЕ
В соответствии со статьей 14 Федерального закона "О гражданстве Российской Федерации" в упрощенном порядке могут быть приняты в российское гражданство получившие среднее профессиональное или высшее профессиональное образование после 1 июля 2002 года в российских образовательных учреждениях граждане государств, входивших в состав СССР (пункт «в» части 1 статьи 14);

Документа на оформление гражданства РФ в упрощённом порядке в соответствии со ст. 14 ч. 1 п. "в" ФЗ "О гражданстве РФ" вы сможете подать- НЕМЕДЛЕННО после получения вида на жительство, если ВНЖ оформлен, то можете сразу после получения дипома

Статья 14. Прием в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке

1. Иностранные граждане и лица без гражданства, достигшие возраста восемнадцати лет и обладающие дееспособностью, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в упрощенном порядке без соблюдения условий, предусмотренных пунктом "а" части первой статьи 13 настоящего Федерального закона, если указанные граждане и лица:

в) являются гражданами государств, входивших в состав СССР, получили среднее профессиональное или высшее профессиональное образование в образовательных учреждениях Российской Федерации после 1 июля 2002 года.

в упрощенном порядке принимаются в гражданство РФ граждане бывших союзных республик, получившие среднее или высшее профессиональное образование в России после 1 июля 2002 г.

...а в остальных случаях единственный выход - фиктивный брак или найти людей, которых можно будет выдать за больных родителей

Только, если ты из Казахстана или Белоруссии. И это не относится к окончанию учебы!