Обязана ли я иметь прописку при проживании в съемной квартире,

Согласно ФЗ: Граждане Российской Федерации освобождаются от административной ответственности за административное правонарушение, в случае: 1). проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в соответствующем населенном пункте субъекта Российской Федерации, если они зарегистрированы по месту жительства в другом жилом помещении, находящемся в том же или ином населенном пункте того же субъекта Российской Федерации.
2). проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Москве или в одном из населенных пунктов Московской области. 3).проживания без регистрации по месту пребывания в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области, если они зарегистрированы по месту жительства в жилом помещении, находящемся в городе федерального значения Санкт-Петербурге или в одном из населенных пунктов Ленинградской области;

4).если они являются супругами, детьми (в том числе усыновленными) , супругами детей, родителями (в том числе приемными) , супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками нанимателя (собственника) жилого помещения, имеющего регистрацию по месту жительства в данном жилом помещении;

5).если проживающие совместно с нанимателем или собственником жилого помещения лица являются по отношению к нему супругами, детьми (в том числе усыновленными) , супругами детей, родителями (в том числе приемными) , супругами родителей, бабушками, дедушками или внуками.

Ну так зайди на сайт consultant.ru и найди:
1 Закон О ПРАВЕ ГРАЖДАН РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НА СВОБОДУ ПЕРЕДВИЖЕНИЯ, ВЫБОР МЕСТА ПРЕБЫВАНИЯ
И ЖИТЕЛЬСТВА В ПРЕДЕЛАХ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
2.
ПОСТАНОВЛЕНИЕ
от 17 июля 1995 г. N 713

По закону да.

Да

Все зависит от ситуации. Официальная позиция властей - да, конечно, если живешь по данному адресу, то нужно регистрироваться. Практически, если судить по моему опыту, то регистрацию чаще делают при съеме комнат - временную, что бы не было проблем с соседями. При съеме квартиры, по статистике нашего агентства, владельцы не очень то стремятся регистрировать арендатора, ограничиваясь только договором аренды. Но ситуация начинает меняться.

если я прописана в энгельсе (саратовская обл.) , а буду снимать комнату, и жить, в саратове положен ли штраф?

Да