Как правильно написать фамилию на английском? (подробности внутри)

Правильнее написать фамилию не по-английски, а как в документе, удостоверяющем личность за границей -- транслитерировать буквами латинского алфавита как "kii".

Мужское окончание ИЙ в именах и фамилиях обычно передается на английском языке как Y варианты с IY также распространены, так что особой разницы нет.

Сначала разберись с русским написанием. Склоняются имена и фамилии русского и иноязычного происхождения, оканчи­вающиеся на согласные и принадлежащие лицам мужского пола: обратиться к Борису Ивановичу Ткачуку, позвонить Альберту Нейману, направить письмо Станиславу Жуку. В виде исключения допустимо не изменять русские фамилии, совпадающие по зву­чанию с названиями животных или неодушевленных предметов, но только в официаль­ных текстах и только при условии обозначения пола носителя фамилии иными средст­вами: Объявить благодарность аспиранту Александру Дуб: утвердить главным техноло­гом Ивана Сергеевича Гусь.
Не склоняются женские имена и фамилии, оканчивающиеся на согласные: встретить Элен Гофман, познакомиться с Нинель Кулик. Склоняются русские и иноязычные фамилии (кроме финских) , оканчивающиеся на безударные -а, -я: выступление Николая Субботы, заявление от Ирины Попереки. Од­нако, если конечному -а, -я предшествует гласный звук, то эти фамилии не склоняются: работы Лурия. В деловой бумаге для предупреждения нежелательного комического эффекта це­ле­сообразно употреблять фамилии на -а, -я, совпадающие по звучанию с названиями жи­вых существ или неодушевленных предметов, в сочетании с именем или именем и отче­ством, или инициалами, или указанием на должность, или звание лица и т. д. : сообщение профес­сора Л. Н. Шубы, выступление заведующего отделом О. И. Крысы. Склоняются славянские фамилии, оканчивающиеся на ударные гласные -а, -я. Например: Головня - Головни, Лобода - Лободы. Не склоняются неславянские (иноязычные) фамилии, оканчивающиеся на удар­ные гласные -а, -я и другие гласные звуки. Например: Дюма, Золя, Гюго, Бизе, Шоу. Не склоняются фамилии, оканчивающиеся на -аго, -яго, -ако, -ых, -их, -ово: лек­ции Шамбинаго, Плевако, Дубяго, Красных, Долгих, Дурново. Не склоняются украинские фамилии на енко (ко) : семинар Зощенко и Доро­шенко. Не склоняются славянские фамилии на -о, совпадающие с нарицательными су­ществительными: выступление Горло и Шило. Не употребляются в форме множественного числа и не склоняются фамилии иноязычного происхождения, если они употребляются в сочетании со словами супру­ги, братья, сестры, брат и сестра, а также в сочетании с двумя женскими именами или муж­ским и женским именами одновременно: приветствовать сестер Ольгу и Ирину Рихтер, написать супругам Вайнер. В сочетании с двумя мужскими именами упот­ребляется форма множественного числа: Томас и Генрих Манны.

Касперский - Kaspersky

причем тут право???.