Моему внуку в декабре 20 лет. Хочет поменять фамилию.

Заявление о перемене имени рассматривается органом ЗАГС в месячный срок со дня подачи. Также 30 дней отводится Вашему внуку на подачу заявления о замене паспорта:
после 20-летия,
после перемены имени
Исходя из этого, считайте. Рекомендую, сначала сменить имя.

так как до декабря осталось мало времени, то может не успеть
сначала поменять фамилию, а в 20 лет сразу поменять паспорт уже на новую фамилию

Фамилию необходимо менять с действительным паспортом, т. е. если менять со старым паспортом, то необходимо совершить эти действия до наступления даты 20-летия. Если менять фамилию с новым паспортом после 20 лет, то при смене фамилии паспорт на старую фамилию становится недействительным и его снова нужно менять на паспорт с новой фамилией. Если есть возможность, оптимально поменять фамилию до наступления 20-летия по старому паспорту, а после дня рождения обратиться в орган ФМС за получением нового паспорта на новую фамилию, т. е. менять паспорт придется всего 1 раз.

И еще. Я не уверен, что ответ про 30 дней на смену имени правильный. Я был участником смены фамилии человеком в органе ЗАГС по месту регистрации рождения и одновременно по месту жительства. Смена фамилии заняла 1 час с момента обращения.

хм. сначала сменить

Лучше так как ему удобно, но момент смены фамилии у него должен быть "действующий" паспорт. Далее за заявлением в Органы ЗАГС. После получение паспорта на новую фамилию.