какие документы нужны, чтобы выписать с одной квартиры и вписаться в другую?

Умоляю, найдите силы прочесть Административный регламент о регистрации граждан
http://www.rg.ru/2008/01/23/fms-reglament-dok.html

РАДИ БОГА, НЕ "ВЫПИСЫВАЙТЕСЬ" С МЕСТА ЖИТЕЛЬСТВА !!!
Во-первых, Вас автоматом "выпишут" с прежнего места жительства при постановке на учет по новому месту жительства, это уже внутренная кухня Федеральной миграционой службы
Во-вторых, если "выпишетесь" с прежнего места жительства, то при постановке на учет у Вас потребуют дополнительно еще и листок убытия, а судя по вопросам здесь, его часто теряют, зачем лишний геморрой самой себе создавать ?

"17. Для регистрации по месту жительства гражданин представляет лицам, ответственным за регистрацию:

документ, удостоверяющий личность;

заявление о регистрации по месту жительства по форме N 6 (приложение N 6 к Регламенту) ;

документ, являющийся основанием для вселения в жилое помещение (заявление лица (лиц) , предоставившего гражданину жилое помещение, договор, свидетельство о государственной регистрации права (права собственности на жилое помещение) , решение суда о признании права пользования жилым помещением либо иной документ или его надлежащим образом заверенная копия, подтверждающие наличие права пользования жилым помещением) . Для регистрации достаточно представления одного из перечисленных документов.

Граждане, снявшиеся с регистрационного учета по месту жительства до прибытия к новому месту жительства, представляют адресный листок убытия по форме N 7 (приложение N 7 к Регламенту) , выданный уполномоченным органом по прежнему месту жительства".

Поставить на учет по новому месту жительства должны за 3 дня,
"Срок предоставления государственной услуги
20. При регистрации гражданина по месту жительства - в течение 3 дней со дня поступления документов в орган регистрационного учета".

при этом Вам нужно обратиться с заявлением на постановку на учет в течение 7 дней после прибытьия, иначе возможно возбуждение дела по ч. 1 ст. 19.15 КоАП РФ (штраф от 1500 до 2500 р.) .
"9. Гражданин, изменивший место жительства, не позднее 7 дней со дня прибытия на новое место жительства, обращается с заявлением о регистрации по месту жительства по установленной Регламентом форме к должностным лицам, ответственным за регистрацию"

К сожалению, вы не указываете, кому принадлежит то жилье, в которое вы хотите прописаться.
Для выписки необходим паспорт, заявление, у нас еще требуют квитанции по оплате.
Если вы являетесь собственником того жилья, в которое собираетесь прописаться, то для прописки нужны документы на квартиру и паспорт. Обращаться в паспортный стол.
Если квартира была муниципальная, то выписавшись из нее вы потеряли на ее право. Или это забронированное жилье?
В любом случае сначала в паспортный стол, а там все разъяснят.

паспортный стол по месту прописки

паспорт

Паспорт