Идея вынести кошку в клетке, что бы она "погуляла" - как вам? Клетка - "шестерка" (здоровая то бишь).

Попытка не пытка )
По поведению кошки легко будет понять, нравится ей такая "прогулка" или нет. Так почему ж не попробовать?

Ну себя представь на воле в крупной клетке и с доберманом снаружи. И всё на свои места встанет. Может быть.

Если кошка взрослая, ранее (или давно) не гуляла на улице, то это ей только лишний стресс! Совершенно без надобности и не на пользу.
А если не привитая, то еще и повышенный риск здоровью и жизни.

Если ей понравиться гулять, то потом вам покоя не даст, будет постоянно просится на улицу. А то и убежит сама.

Не стоит выносить в клетке. Тоже будет стресс, но убежать и спрятаться она не сможет. И это не свобода. Пусть уж дома сидит.
Если у вас есть дача- можно там на участке погулять пустить.

а с чего вы взяли, что ей как-то скучно в квартире и ей обязательно надо на улицу?

А я кошку выгуливаю. На шлейке. Удобная, кстати, вещь.
Моя Алиска в восторге, гуляет с интересом и удовольствием. Дома никогда не просится (т. е. привыкания к улице у нее нет, она там только гуляет, лоток у нас на отлично), но стоит надеть шлею и подвести на поводке к двери - знает и уверенно выходит в подъездный коридор.
Купите специальную шлейку для кошек, они недорогие и, если ваша кошка любит улицу, принесет множество положительных эмоций как и ей, так и вам с прохожими. Это гораздо лучше клетки, мне кажется, что ваше предложение будет стрессом и неодобрительными взглядами окружающих.
Вот только минус есть: если ваша кошка не стерильная и во дворе есть коты - ждите, что они будут бегать неподалеку и мурлыкать.