Что делать если кот постоянно спит и у него нос теплый и сухой.

Это нормально

Если все остальные признаки при этом в норме (кушает более-менее, стул нормальный, писает тоже нормально), то это 90 % от жары просто.

1. Поить прохладной (не ледяной, а прохладной) водой. Если не хочет пить воду сам из мисочки - доливать немного прохладной воды (можно прямо из-под холодного крана) в его корм, чтобы он волей-неволей эту воду выпивал.
Потому что для них опасна жара, есть риск обезвоживания.

2. каждые час-два (когда есть такая возможность) оборачивать его на пару минут полотенцем, вымоченным в холодной воде.

кошки-не собаки. нос не должен быть мокрый и холодный.
Мои кошки активны рано утром часа два. после кормёжки, гонки устраивают, ластятся, играют или просто ходят и сидят. потом с 10 утра и до 5-6 вечера-тихий час. С этого времени тоже бодрствуют, но не так активно как утром.
Если кош не болен, то у вас всё правильно
ЗЫ: фазы "сплю--бегаю" чаще сменяются у котят, они же и более активны.

Нос не показатель. Если есть какие то другие симптомы например вялость, отказ от еды, рвота, повышенная температура тогда уже можно бить тревогу.

Именно так и должно быть у кошек после или во время сна (теплый и сухой нос). Понаблюдайте за тем, как он питается, за состоянием шерсти.

щёлкнуть по носу

Ничё не делай. Ему просто у тебя хорошо.

Коты спят 80-90% свободного времени.
И когда кот спит, нос у него тёплый и сухой.
Так всегда.
Щупай нос, когда он активный и бодрствует.

Жарко сейчас. У кошек самый неактивный период. Если сильно беспокоит его состояние сводите к ветеринару.

Не мешать спать это нормально

Скорее всего он заболел и лучше его отвезти вет-клинику

Когда коты спят, у них и должны носы быть тёплые и сухие. А спят они весь день, только к ночи просыпаются. (по крайней мере мои)