Узнает ли мать своего котенка через полгода?

Конечно она его узнает. Это даже не вопрос памяти. Это вопрос запаха. Она узнает его по запаху. Но это не значит, что кошка бросится вылизывать бывшего котенка. У кошек с этим строго. Вырос - значит все, живи самостоятельной жизнью.

и драться будут и вязаться

Нет, не узнает. Он для неё будет посторонним чужаком.

У котов нет понятия родства. Для кошки-мамы он теперь будет просто очередной молодой кот. Если не кастрировать, то запросто могут спариться.

не узнают они друг друга. а новых котят заделать могут.

Не знаю, у меня довольно долго жили кошки - мама с сыном, уже взрослым котом, даже больше мамы. Но он ее никогда не трогал, не бил и не задирал, а слушался. Даже когда она не в настроении была, шипела на него, могла по морде треснуть - он ничего в ответ ей не делал, просто уходил подальше, хотя чужих кошек со двора гонял, и свекрухину мадаму в страхе держал. А мама - это святое было!!!)))

У подруги кошка от сына родила. Не досмотрели... А он рос вместе с ней

Драться на улице будут вряд ли, а вот спариваться - очень может быть.

Не узнает. Теперь для нее это обычный кот, который несет опасность и зашёл на её территорию. И драки будут, и склоки. И ненужные котята. И это абсолютно нормальное поведение для кошки.

Интересный вопрос, не обычный.