сосед грозит расправой собакам

В любом случае нужны доказательства, а если собаки действительно, как вы пишете, не гуляют, сидят на территории, в надежном вольере, то никто ничего вам сделать не сможет. Территория ваша, а если кто на нее проберется без вашего ведома, то уж тут вы сами в полном праве написать заяву о незаконном вторжении.

Видеонаблюдение поставьте.

к участковому и обязательно с фиксацией заявления об угрозе

Либо что то не договариваете, либо наоборот приукрашиваете. С соседями контры я еще могу понять, но в массовом маштабе в частном секторе... да никому дела нет и уж тем более нет дела до породистости собаки. Да и дыма то без огня не бывает.

пригрозить этому "активному" соседу, что, если с собаками, что-нибудь произойдёт, то, что-то плохое случится с его домом и семьёй

С юридической точки зрения, собака является имуществом. Существует даже судебная практика, когда некоторые породы собак, как правило, бойцовые, признавались источником повышенной опасности. То есть, хозяин такой собачки должен предвидеть возможные негативные последствия поведения собаки, и несет ответственность за причинение собакой вреда. 

В Вашей ситуации, чтобы сделать «что-то» с собакой (или с Вами) законным путем, необходимо доказать, что собакой причинен вред (покусала кого-то), либо что она систематически пугает людей (особенно детей) — неоднократные подтвердившиеся жалобы по этим фактам. Ответственность за такие нарушения,  как правило, предусмотрена региональным законом об административных правонарушениях. 

Вы, со своей стороны, также вправе подать заявление в отношении тех лиц, которые высказывают угрозы убить собаку (=угрожают уничтожить Ваше имущество), если считаете это необходимым в сложившейся ситуации. Но, как практик, могу сказать, что такое заявление поможет только «попугать» соседей (если они из категории «пугливых» или не желающих «связываться»)… К ответственности за это не привлекут
Источник : https://m.pravoved.ru/question/478218/

(Очень знакомый вопрос)
Думаю если не выпускать собак, то ничего наговорить не смогут.

Предупреди соседа, что если с твоими собаками что-то случится, его собаки будут отправлены

шли всех. никто ничего не сделает. у людей для этого и существует рот, чтоб говорить. для того, чтобы повесить на твоих собак разодранных кошек или испорченный газон, нужны доказательства. а у них, я так понимаю, только фикалий изо рта льется. в следующий раз скажи, что это только на улице 4 штуки, а дома в подвале ещё 10 сидят, и если бубнить дальше будут отпустишь их ночью по адресам этих придурошных

Если есть лишние деньги, установите круглосуточное видео наблюдение за вольером. Стоит это не очень дорого, главное чтобы вольер попадал в кадр и было доп. освещение ночью. Это будет как доказательство собачьей невиновности, если до суда дойдёт. Так же это послужит защитой, если кто-то во двор полезет - Камера запишет его лицо.