У кота гнойное воспаление на лапке.

Это абсцесс. Часто кожа зарастает быстрее, чем очищается полость абсцесса, и как только исчезает отверстие, через которое может вытекать гной, он опять скапливается и абсцесс формируется снова.
Иногда встречается флегмона - это "ползучее" гнойное воспаление (в отличие от абсцесса без капсулы).
1) установление дренажа и активное промывание по дренажу- сроком от 7 дней до ...полного очищения ( отсутствие каких-либы выделений, прозрачный раствор после вытекания из раны) ; после того, как промыли в рану можно ввести мазь левомеколь и сверху наложить не тугую повязку; не использовать для промывания концентрированные раздражающие средства - перекись только в первые несколько дней ( лучше первые сутки - пока большое количество гноя) 2) Антибиотики длительно - если кот ест и пьет, то можно давать в таблетках через рот (ну например амоксицилин с клавулановой кислотой) - в кожных дозах. Курс антибиотика может быть очень долгим - столько, сколько потребуется.

Начинайте промывать абсцесс. В шприц без иглы набираете перекись водорода 3% , вставляете канюлю шприца в дырку и промываете гнойный карман, затем наберите в шприц левомеколь или ихтиоловую мазь и таким же манером запихните мазь в полость. Процедуру делать три раза в день, дня три - четыре подряд. Корочку, которая будет образовываться на ранке сковыривайте, ранка должна быть открытой для оттока гноя и сукровицы.