Можно ли приютить домашнюю, но бездомную собаку?

Приютить-в смысле забрать насовсем? Это будет воровство. конечно же, А вот что будет правильно-это взять собу домой и написать объявы, кинуть клич повсюду где только возможно. Так или иначе нужно попытаться найти хозяина. сделать доброе дело и людям и животному. Оставить себе можно только в том случае если владелец так и не объявится, несмотря на все предпринятые вами усилия. И даже если так получится, что хозяин объявится намного позже или ему придет в голову что-то вам предъявить, то у вас будут стопроцентные доказательства что вы взяли не с целью прикарманить себе. а именно с целью помощи.
И. кстати, посмотрите на ошейнике, там вполне может быть адресник или табличка с номером телефона.

Практически наверняка щенок просто потерялся, от этого не застрахована ни одна собака. Попробуйте поискать прежнего хозяина, пофотографируйте малыша и разместите в группах вашего города в контакте, в инстаграме и других популярных соцсетях, расклеивайте объявления.
Представьте, что у вас пропал любимый питомец, вы его везде ищете днями и ночами всеми способами, а его кто-то просто забрал к себе и не хочет отдавать, правда ведь, неприятная ситуация?

Для начала неплохо бы выяснить, потерялся он или на самовыгуле (да, хозяева бывают разные). Заберите пока себе, если жаль его, но честнее будет развесить объявления и поискать хозяев.

можно приютить и дать объявление о Находке во все паблики животных города, особенно вконтакте и повесить на столбе около ближайшего магазина с продуктами - если не найдется хозяин, оставить себе

Конечно. И кличку Себастьян. Если пацан.

Вполне можно