У кота отмерзла лапа

Коту очень повезло, что он встретил именно вас.
Я бы его показал сразу ветеринару - чтобы потом не корить себя за то, что не сделал этого своевременно. Тогда любые негативные последствия будут на его совести ))))))
У нас на данный момент трое кошек (все кастрированы), все в разные годы подобраны моей женой: Барсику уже 16 лет, Дусе скоро 8 лет, Чернышкису - будет 5.

гангрена будет, если не ампутировать

Если на ампутировпть, разовьётся гангрена и кот погибнет.

Его в любом случае нужно лечить! Если не лечить - будет гангрена от этой лапы - начнет заживо гнить. На время лечения - найдите ему передержку или уж возьмите к себе

Гангрена может начаться.

Ну если вы говорите, что хорошо себя чувствует, бегает, ест, наступает на лапу, то, думаю просто отморозил. Вообще-то у кошек девять жизней, недаром говорят. А у уличных и подавно. Было бы что-то серьезное, он бы лежал в лежку и плакал. Уличные привыкли к серьезным передрягам. А сосед ваш сволочь! На кого он капканы ставил?

Искать передержку и лечить, после лечения можно дом ему искать

промойте лапу, сделайте то что нужно (обработайте рану перекесью водорода, наложите гипс, вроде должно помочь, и не слушайте этих даунов которые посоветовали лапу отрезать)

За лапой нужно наблюдать, недавно была в хирургии, так там с обморожением привезли человека, он ходил с перебинтоваными ногами, в итоге, ампутировали всего несколько пальцев, а у котов вообще заживает всё лучше. Возьмите к себе животное, у меня здоровый пёс обморозил ступни, увидела, что покраснения между пальцами, и на ступне лапы. Мороз выше - 11 и не поднимался, как умудрился он, не знаю. Третий день он уже дома и идёт на поправку, нельзя это запускать. Две собаки у меня комнатные, тоже не маленькие, один из них западно-сибирская лайка, ему 6 месяцев . Третья собака, сука, ей года 4,пришла в 2 года сама к нам, так и осталась жить. И я всё равно взяла в дом кобеля с улицы, ему 5 лет. А это кот, вообще не проблема, зато сделаете доброе дело. Перебинтовывайте каждый день, наблюдайте, давайте антибиотики в малых дозах, это же кот. И если лапа начнёт чернеть, только тогда нужно будет ампутировать, но не затягивайте. Мой кобель тоже сначала не чувствовал ничего, а на второй день пребывания в доме, стал зализывать лапы, они отошли и уже розовенькие, это хорошо. Кот много места не займёт. Но не грейте лапы, если хотите чтоб они отошли, выше 30 градусов в воду не опускайте, а лучше, ему просто побыть в тепле.