Я очень хочу собаку, но бабушка их очень боиться.

Фобии тем и опасны, что умом понимаешь, а по факту стрессуешь. Бабушка наверняка уже немолода и не факт, что 100% здорова, лишний стресс ей не на пользу.

Не надо бабушку уговаривать! Ей и тебя вполне хватает! Вот подрастёшь, станешь совершеннолетней и сможешь пойти волонтёром в приют, для начала.

А ты хочешь уже большую собаку? А то я могу дать совет - возьми щенка, сунь в руки бабушке, щенка же она не будет бояться, тот, конечно, кинется ее облизывать, ну и все, дело сделано. А потом щенок вырастет в твою (и ее) любимую собаку. Таким приемом пользуются торговцы в Москве на Птичьем рынке (вернее, теперь Садовод, ну неважно). Мне начальница рассказывала, говорит, Оленька, никогда не берите в руки щенка или котенка, которых вам настойчиво дают подержать продавцы, потому что - это все, как только ты взял в руки это чудо, ты уже без него не уйдешь. Они конкретно шли за щенком ротвейлера (прежний умер), а взяли... чау-чау. Чувствуешь разницу, ротвейлер и чау? Но ничего, довольны и счастливы. Хотя на мой взгляд чау-чау довольно проблемная порода. Как и ротвейлер. Как и моя Римма Германовна.

Пород полно. Поговори на счёт какой-нибудь маленькой, типа таксы.

выбери маленькую и пушистую

начни атаку на бабушку с другой стороны. раз собаки ей не ко двору, потребуй купить себе скунса. если откажут, потребуй аргументированных объяснений почему. ну а в конце поставь ультиматум: или скунс или собака.