Может ли животное иметь фамилию?

Нет.

В ветеринарке моего кота много лет назад записали кот Марсик и мою фамилию- было очень смешно

Если на него оформленно завещание, то может.

Может, если считать фамилией название питомника.

у породистых собак есть фамилия - это название питомника, притомниковая приставка. таким образом, все собаки питомника имеют это название в своей официальной кличке: питомник "Трэлс": Трэлс Лойфред Кроненбург, Трэлс Зигмундгелис, Трэлс Бейсикэйбл, питомник "Солнечная мечта": Эскалибур из Солнечной мечты, питомник "От Барбацуцы": Ортего Листо от Барбацуцы. все клички реальные))) конечно, дома многих собак зовут кличками, близко не похожими на официальные - Трэлс Лойфред Кроненбург дома просто Гаврюша))) притомниковую приставку придумывает сам владелец питомника, когда его регистрирует. например, Трэлс - скоращение от фамилии Трубникова и клички ее первой собаки Элске. От Барбацуцы - Барбацуца - это домашняя кличка собаки, ставшей родоначильницей питомника, ее официальная кличка была Руцея Радона Бел. многие питомники работают не просто годами, а десятилетиями, и имеют репутацию, историю. поэтому, когда ты покупаешь собаку определенного питомника - ты находишь еще одну семью - очень большую семью))) и, в подавляющем большинстве, дружелюбную и готовую прийти на помощь - даже в делах, далеких от собачьих))) потому что у ваших собак фамилия одинаковая)))

Я разрешаю

Какой глубокий филосовский смысл в твоем вопросе)))))

Да, если оформлять паспорт домашнему животному, то фамилия очень даже может быть, по решению хозяина