Как появился обычай у мужчин пожимать друг-другу руку?

Рукопожатие — жест, ритуал приветствия, прощания и т. п. , заключающийся в небольшом сжатии правых или левых рук. Иногда такое сжатие сопровождается небольшим покачиванием пожатых рук.

Чаще всего рукопожатие используют при приветствии, при прощании, при поздравлениях или в знак заключения определённого соглашения. Цель рукопожатия в демонстрации доброй воли. Этот ритуал произошёл скорее всего от движения рук, показывающих, что в них нет оружия. Этот способ приветствия наиболее распространён среди мужчин, женщины его используют только при деловых встречах или в шутку. Данный ритуал может заменяться на целование руки, если один из субъектов общения — женщина.

В Японии принято считать, что рука отражает душу человека. Таким образом рукопожатие двумя руками означает, что ваши чувства исходят от чистого сердца.

это оттого, что людям необходимо прикасаться друг к другу (психология)
прикосновение, выражение своих эмоций трансформировались в рукопожатие

Вообще-то был еще момент. Руку протягивали ладонью вверх если с миром и ладонью вниз при наличии секретов.

В средние века руку пожимали в качестве проверки товарища, т. к. рукаве часто носили нож. И пожимали руку не как сейчас - лишь кисть кистью, а брались за запястья. Так же и со спиртным. Люди "чокались" кружками так, чтобы выпивка попала из одного сосуда в другой - проверялось наличие яда.

Это рыцарский обычай.
Смысл заключён в поддержке, и обменом силы, перед боем.