Помогите с геометрией)

По-моему, насчёт баллов - враки, здесь за ответ столько не дают, даже если четырьмя вопросами оформить.

Задание 1

 При n = 1

1 / (1 * 2) = n / (n + 1) = 1 / 2    - верно

Для n - 1 равенство сводится к (n - 1) / n.

Если оно верно для n - 1, то надо доказать, что

(n - 1) / n + 1 / (n (n + 1)) = n / (n + 1)

Преобразуем левую часть:

(n - 1)(n + 1) / (n (n + 1)) + 1 / (n (n + 1)) =

  = (n² - 1 + 1) / (n (n + 1)) = n² / (n (n + 1)) = n / (n + 1) 

Что и требовалось доказать.

Задание 2

 При n = 1

S(n) = 5ⁿ⁺³ + 11³ⁿ⁺¹ = 5⁴ + 11⁴ = 625 + 14641 = 15266

15266 = 17 * 898, т.е. делится

Далее, если S(n - 1) делится на 17, то

5ⁿ⁺³ + 11³ⁿ⁺¹ = 5 * 5⁽ⁿ⁻¹⁾⁺³ + 1331 * 11³⁽ⁿ⁻¹⁾⁺¹ =

  = 5 * S(n - 1) + (1331 - 5) * 11³⁽ⁿ⁻¹⁾⁺¹

(где k - целое число)

Первое слагаемое делится на 17, а у второго есть два множителя.

11 - простое число, поэтому никакая его степень не будет делиться на 17.

А 1331 - 5 = 1326 = 13 * 102 = 13 * 17 * 6

- легко раскладывается на множители, один из которых - 17.

Значит, S(n) делится на 17, если S(n - 1) делится на 17. 

Задание 3

 При n = 1

D(n) = 9ⁿ - 8n - 1 = 9 - 8 - 1 = 0 - делится на любое число, включая 16

Далее, если D(n - 1) делится на 16, то

D(n) = 9ⁿ - 8n - 1 = 9 * 9ⁿ⁻¹ - 8(n - 1) - 8 - 1 =

  = 9 * 9ⁿ⁻¹ - 9 * 8(n - 1) - 9 + 8 * 8(n - 1) = 9 * D(n - 1) + 64(n - 1)

Первое слагаемое делится на 16, т.к. там присутствует D(n - 1),

а во втором присутствует множитель 64, который делится на 16.

Значит, D(n) делится на 16, если D(n - 1) делится на 16. 

Задание 4

 Для n = 3

2ⁿ = 8 ;   2n + 1 = 7 ;   8 > 7

Далее, примем, что D(n) = 2ⁿ - 2n - 1 > 0

И допустим, что D(n - 1) > 0

Тогда D(n) = 2 * 2ⁿ⁻¹ - 2(n - 1) - 2 - 1 =

  = 2 * 2ⁿ⁻¹ - 2 * 2(n - 1) - 2 + 2(n - 1) - 1 =

  = 2 * D(n - 1) + (2n - 3)

Первое слагаемое больше нуля, т.к. там D(n - 1) (которое больше нуля)

умножается на положительное число.

Второе слагаемое является возрастающей функцией от n. При n = 3

2n - 3 = 3 > 0

значит, при любом большем n оно также больше 0.

Значит, D(n) > 0, если D(n - 1) > 0.