Может ли женщина не записывать бывшего мужа как отца ребенка? Могут ли оформить пособие как матери-одиночке?

это ее право кого заявлять отцом, или не заявлять вообще.

бывший только может попытаться дать отчество.

Нет, не может. Её желания спрашивать не будут, бывшего мужа запишут отцом в соответствии с действующим законодательством. Вряд ли "чистый паспорт" поможет "обойти" закон, в отделе записи актов гражданского состояния есть вся информация о том, кто когода родился, женился, развелся.
п. 2 ст. 48 СК РФ
"Если ребенок родился от лиц, состоящих в браке между собой, а также в течение трехсот дней с момента расторжения брака, признания его недействительным или с момента смерти супруга матери ребенка, отцом ребенка признается супруг (бывший супруг) матери, если не доказано иное (статья 52 настоящего Кодекса). Отцовство супруга матери ребенка удостоверяется записью об их браке."

Если с мужем развелась до рождения, то может. Но пособий не будет. Только льготы.

Ольга вам верно ответила, ЗАГС сам поверяет не была ли она замужем в течение 300 дней до рождения ребёнка. Отца впишут автоматом, пусть подаёт на алименты

Ваша сестра куда придёт оформлять свидетельство о рождении ребёнку? В ЗАГС. А там её спросят-была ли она замужем и когда развелась? Она даже если захочет сказать неправду, её слова всё равно очень быстро проверят! Если вместе с ней не придёт биологический отец ребенка, и не сообщит о том, что он - настоящий отец, то обязательно запишут на бывшего супруга. Есть только эти два варианта.