Нахождение синуса от угла в радианах

 def sin(x):

  s, t, q, n = x, x, -x * x, 1

  while True:

    n += 2

    t *= q / (n * (n - 1))

    s += t

    if abs(t) < 1.0e-20: return s 

Банальный ряд Тейлора.

Но т.к. при больших x вычисление ряда начинает безбожно врать, имеет смысл сначала привести x к приемлемому диапазону значений - через формулы синуса и косинуса двойного угла:

 def sin(x):

  if abs(x) > 0.125: return 2 * sin(x / 2) * cos(x / 2)

  s, t, q, n = x, x, -x * x, 1

  while True:

    n += 2

    t *= q / (n * (n - 1))

    s += t

    if abs(t) < 1.0e-20: return s

 

def cos(x):

  if abs(x) > 0.125: return cos(x / 2) ** 2 - sin(x / 2) ** 2

  s, t, q, n = 1, 1, -x * x, 0

  while True:

    n += 2

    t *= q / (n * (n - 1))

    s += t

    if abs(t) < 1.0e-20: return s 

Убирая дублирование кода и добавляя кэширование (мемоизацию) для ускорения рекурсии:

 import functools



@functools.lru_cache

def calc(t, q, n):

  s = t

  while True: 

    n += 2 

    t *= q / (n * (n - 1)) 

    s += t 

    if abs(t) < 1.0e-20: return s



@functools.lru_cache

def sin(x): 

  return 2 * sin(x / 2) * cos(x / 2) if abs(x) > 0.125 else calc(x, -x * x, 1) 



@functools.lru_cache

def cos(x):

  return cos(x / 2) ** 2 - sin(x / 2) ** 2 if abs(x) > 0.125 else calc(1, -x * x, 0) 

Через ряд Тейлора разложи: https://dotancohen.com/eng/taylor-sine.php
Если под виндой - можешь подрубить MSVCRT.DLL, там тоже синус есть. И никакого модуля math, что характерно!