как синус может быть 780 градусов , если в треугольнике всего 180 градусов на все три угла?

Синус никак не может быть 780 градусов. Вот АРГУМЕНТ у синуса - может. Потому что определение синуса как отношения катета к гипотенузе - это на уровне седьмого класса. Но уже в девятом проходят другое.
В девятом классе вводят понятие единичной окружности и радиус-вектора - это отрезок, соединяющий начало координат с некоторой точкой на этой единичной окружности. Ну и представьте себе, что этот радиус-вектор начинает вращаться из своего начального положения. И для такого случая угол можно рассматривать как непрерывно и НЕОГРАНИЧЕННО изменяющийся аргумент. Это довольно просто понять, если рассматривать именно процесс вращения. Угол от нуля постепенно увеличивается до 90, потом до 180, потом до 270, потом до 360 (полный оборот) , а потом ДАЛЬШЕ, за 360 (сколь угодно далеко) . Просто тут начинает проявляться периодичность функции - положение радиус-ветора, а значит, и тригонометрическая функция угла, оказывается периодической, потому что 780 не отличается от 60 градусов.

А ветор может вращаться и вращаться по кругу, наматывая за каждый оборот по 360 градусов - только и всего. Элементарная тригонометрия, каковая есть РАСШИРЕНИЕ элементарной геометрии....

У Вас наверняка угол 780 не в треугольнике, а аргумент в синусе. Тогда учитвая, что синус периодическая функция с периодом 2*ПИ = 360 переведите угол в удобоваримый вид:

sin(780)=sin(780-2*360)=sin(60)=1/2.

Опять же, вы не понимаете определение синуса, это совсем, не отношение катета к гипотенузе, а нечто другое.
Отношение катета к гипотеузе - это уже следствие из определения синуса.

Аналогично для косинуса.

Нужно точное определение синуса, спрашивайте, отвечу.

Синус - это элементарная функция и существует где угодно. В частности, и в прямоугольном треугольнике. Отношение.... и пр.... равно синусу.. . и пр.

Для этого созданы формулы приведения синус780 град = синус (2*360+60)= синус60=корень_из_3/2
Такие углы созданы для вычисления физических процессов, например, движение точки по окружности. В геометрии в чистом и наглядном виде их можно редко встретить.