Погрешил ли Николай Чудотворец, ударив по щеке Ария?

Конечно погрешил. Недопустимо такому человеку как он опускаться до плебея.
Никаким праведным гневом это не оправдаешь, он вёл себя как нехристь.

Нет, конечно.
Бывает и праведный гнев. Это как раз тот самый случай - Вами упомянут! Его первопричиной, насколько я понимаю, является ревность по Бозе.
Вот примеры такой ревности, которая не является греховной:
"Когда Господь нашел в храме Иерусалимском продающих и покупающих, Он взял бич и изгнал всех торгашей их храма. При сем, – пишет святой Иоанн Богослов, – ученики Его вспомнили, что написано: ревность по доме Твоем снедает Меня (Ин. 2, 17).
Другой пример ревности по Бозе из Священного Писания – святой праотец Финеес. Святитель Григорий Богослов пишет: «Прекрасна ревность: свидетели этого – Финеес, одним ударом копья пронзивший мадианитянку вместе с израильтянином, дабы избавить от поношения сынов Израилевых, и за свою ревность получивший себе славное имя; а после него – те, которые говорили: возревновал я о Господе (3 Цар. 19, 10); ревную о вас ревностью Божиею (2 Кор. 11, 2)".

Лицо человека это лик Бога. Ударить по лицу - оскорбить Бога в этом человеке... Унизить Его и растоптать... Этого делать нельзя... Никому.... Длань дана, чтобы давать, ласкать, трудится... Делать мир краше, а не осквернять ее святое предназначение мерзостью...

Некоторые равнее прочих, и в церкви так же.
На Никейском расколе они ещё и свято обплевались.

Если бы Арий подставил другую щеку, он стал бы круче Николая однозначно.

всему своя мера