О каком успехе говорит апостол Павел? И почему он должен быть очевиден для всех?

По его делам и по результатам, к которым эти дела приводят.

Павел говорит о духовном изменении человека, о освобождении от страстей и новое поведение человека видят все окружающие

Когда Павел написал письмо христианину Тимофею, тот (т. е. Тимофей) находился в эфесском собрании . Там возникли некоторые проблемы из-за того, что некоторые начали производить разделения в собрании, распространяя ложные учения. Тимофею нужно было защитить духовную чистоту собрания. Поэтому, Павел дал совет Тимофею:
" Никто да не пренебрегает юностью твоею; но будь образцом для верных в слове, в житии, в любви, в духе, в вере, в чистоте... О сем заботься, в сем пребывай, дабы успех твой для всех был очевиден." (Первое послание к Тимофею 4:12-15)
Успехи, о которых говорил Павел, касались духовных качеств Тимофея. Для того, чтобы защитить собрание от разлагающего влияния, Тимофей, в первую очередь, должен был подавать прекрасный пример своим безукоризненным поведением.

О том, что христианин должен отличаться верой, основанной на Библии, и применением полученных знаний.

Слова Иисуса: 12. Сия есть заповедь Моя, да любите друг друга, как Я возлюбил вас.
13. Нет больше той любви, как если кто положит душу свою за друзей своих.
14. Вы — друзья Мои, если исполняете то, что Я заповедую вам.
15. Я уже не называю вас рабами, ибо раб не знает, что делает господин его; но Я назвал вас друзьями, потому что сказал вам все, что слышал от Отца Моего.
16. Не вы Меня избрали, а Я вас избрал и поставил вас, чтобы вы шли и приносили плод и чтобы плод ваш пребывал, дабы, чего ни попросите от Отца во имя Мое, Он дал вам.
17. Сие заповедаю вам, да любите друг друга.
18. Если мир вас ненавидит, знайте, что Меня прежде вас возненавидел.
19. Если бы вы были от мира, то мир любил бы свое; а как вы не от мира, но Я избрал вас от мира, потому ненавидит вас мир.
(Св. Евангелие от Иоанна 15:12-19)