Если в Бога поверит преступник, убийца и просто палач, могут ли сказать верующие, что этот человек на пути исправления?

Конечно и таких примеров множество. Только вера не в словах, а в делах...

сердце только Бог видит..

спроси об этом Чикатило.
тот тоже перед смертью вроде уверовал

Мне как то вме равно, кем был тот, кто пришел к вере. Пусть Господь с ним сам разберается.

Тут поверить то можно, но мы сами о себе не знаем, какие мы. Так, едем на машине, а впереди собака выскочила, и пассажир, врач закричал: "Дави её, дави!" Налицо скрытая нелюбовь к живому существу.
Или меня взять-послали меня в армии командовать солдатами свалку убирать. Ох и показал же я себя командиром.
А в другой раз я сам махал лопатой как бешеный, разгружая вагон с угольком.
Поэтому святые, зная эту особенность нашей личности, признавали себя последними грешниками и я встал на их путь сознательно.
Например:
Преподобный Пимен Великий говорил о себе: «Поверьте, чада, где сатана, там и я буду», то есть пытался уверить своих духовных чад, которые смотрели на него с любовью, благоговением и вполне справедливо видели в нем пример святости, что он столь же грешен, как и сам диавол, и будет там же, где диавол.
"О том, что святые искренне считали себя хуже всех"
https://azbyka.ru/o-tom-chto-svyatye-iskrenne-schitali-sebya-huzhe-vseh

Исправления? Для этого сначала согрешить надо а грешны мы или нет, это Богу решать, а нам с вами.

Первым в рай вошёл вообще-то раскаившийся разбойник.

Разбойника и убийцу вообще без раскаяния в рай определили, что то с библией не так....

Любой Христианин на пути исправления, ведь в начале Христианство так и называлось: Путь спасения.
Если человек Христианин, он действительно начнёт менять свою жизнь в соответствии Слову Божьему, если же человек не меняет свою жизнь, значит он не Христианин, и не идёт по пути спасения.

Не людям его судить! Может он сам себя уже и в угол поставил и опустил..

На Руси есть такая традиция. Прежде, чем кого-нибудь зарубить топором или грохнуть из валыны, надо перекреститься. Так что, душегубство с верой вполне совместимы.

А если кого-то грохнул и сожрал, то главное - не забыть поблагодарить Господа за "хлеб насущный".

Если преступник раскаялся перед Богом, понес наказание перед людьми за свои злодеяния, то почему его нельзя считать верующим?

Бесы тоже веруют. И колдовки. И сатанисты. Верить в существование и слушаться, быть верным - разные уровни. Просто поверить в Бога - еще не значит покаяться и изменить свою жизнь.