Может ли христианин молится в синагоге?

нет.
правила соборов еще никто не отменял.


70. «Если кто, епископ, или пресвитер, или диакон, или вообще из списка клира, постится с иудеями, или празднует с ними, или принимает от них дары праздников их, как-то: опресноки, или нечто подобное: да будет извержен. Если же мирянин, да будет отлучен.
71. Если какой христианин принесет елей в капище языческое или в синагогу иудейскую, в их праздники, или зажжет свечу: да будет отлучен от общения церковного.».

11-е правило Трулльского («Пятошестого», 691 — 692 г.) Вселенского Собора:
«Никто из принадлежащих к священному чину, или из мирян, отнюдь не должен ясти опресноки, даваемые иудеями, или вступать в содружество с ними, ни в болезнях призывать их, и врачества принимать от них, ни в банях купно с ними мытися. Если же кто дерзнет сие творить: то клирик да будет извержен, а мирянин да будет отлучен».

Синагога открыта для всех, никто не спросит к какой конфессии вы относитесь.

зачем?

Не может

нет
его туда не пустят

Уже нет, распинать не надо было. По Павлу: мужчина - молиться с непокрытой головой. А иудаизм: кипу заставят обязательно.

"Молитесь же во всякое время духом"

Вслух и громко: Во Имя Иисуса Христа Господа Нашего.

Зачем он туда попёрся? "Также, когда молитесь, не ведите себя как лицемеры, которые любят молиться в синагогах и на углах главных улиц, чтобы их видели люди. Говорю вам истину: они уже сполна получили свою награду. Ты же, когда молишься, войди в свою комнату и, закрыв дверь, помолись твоему небесному Отцу. И тогда твой Отец, видящий всё, что делается втайне, вознаградит тебя. Когда молитесь, не повторяйте одно и то же, как люди из других народов, которые думают, что будут услышаны благодаря своему многословию. Не будьте как они, ведь ваш Отец знает, в чём вы нуждаетесь, ещё до того, как вы его попросите" (Матфея 6:5-8).

А что ему там делать?

Таких запретов нигде нет, конечно, христианин может зайти в синагогу, если в этом есть необходимость.
Кстати, о молитве – это разговор с Богом, а для этого специального места не надо (Марка 1:35). Для молитвы нет препятствий. Вы можете обратится к Всевышнему в любое время и в любом месте, и быть уверенным, что Он вас выслушает. К тому же, для Бога не существует национальных различий: «Теперь я точно знаю, что Бог беспристрастен и что он принимает человека из любого народа, если тот глубоко уважает его и поступает правильно» (Деяния 10:34,35).

Иисус сказал ,что " когда молишься, войди в комнату твою и ,затворив дверь твою,помолись Отцу твоему, Который втайне.."

Может если выгонит остальных