Скажите, а вот люди которые выиграли грин кард. Как у них проходит процесс самого получения этой карты?

погуляйте на сайте Говорим про.., если Вас интересует эта тема. там очень подробно отвечено на все подобные вопросы
http://www.govorimpro.us/forum.php

первое- если проходите успешно собеседование в посольстве- вам дают временную визу, по прибытии в штаты отправляете документы в хоумленд секьюрити, оплачиваете 900 баксов и через 5 и более месяцев получаете грин карту
второе- никто никакой поддержки вм не обязан оказывать, вы сами сделали выбор, вы не беженец, посему как сошли с самолета, так сами ножками-топ-топ, ищите работу, учитесь и все прочее- за свой счет и как получится. Первое время друзья жили на матрасах в съемных квартирах. ходили пешком или на автобусе - машину не было возможности купить, а кредитов вам не дадут лет 5, первоначально долларов 300 могут дать, чтобы составить вашу кредитную историю. Посему забудьте изначально про то что вам кто то что то должен.
Помощь мжно начинать просиь после года проживания в одном штате- вы становитесь его резидентом и тогда уже о чем то с вами будут говорить, но помощь только если у вас действительно край, на детей помщь можно просить сразу, много не дадут- может фуд стемпс- типа кредиток с деньгами на продукты с ограниченой суммой

Ещё до приезда вроде определяются с жильем и работой, постояная помощь, курсы для устройства на работу и т. д. Мои родственики говорили, что как только получили карту, их координировали во всем и сейчас дом свой (кредит) , машины у всех детей, работа!

Для начала надо получить вид на жительство. Работать, работать тяжело и после нескольких лет вполне возможно и дадут заветную карту. Все зависит от вас.